Differenziabilità funzione min

[fede.unive]

Salve a tutti,
non so se si più corretto postare questa domanda qui ovvero nella sezione analisi. Qualora i moderatori lo ritengano opportuno, pregherei di spostare l'argomento.
Il problema è il seguente. Ho una variabile aleatoria $L(\vec u)$ così definita

$L(\vec u)=\sum_{i=1}^\n\ u_i * L_i$
$\vec u = (u_1, u_2, ..., u_n)$

dove ${L_i}_{i=1}^n$ è una successione di variabili aleatorie "perdita dell'i-esimo portafoglio" e $u_i$ è una variabile deterministica "quota di ricchezza investita nel medesimo portafoglio". La distribuzione delle $L_i$ non è espressamente precisata, ma fissata.
Introduco inoltre un'ulteriore funzione $c(\vec u)$ definita come il quantile a livello $\alpha$ della distribuzione di $L(\vec u)$, ossia:

$c(\vec u)=q_{\alpha}(L(\vec u)) =text{inf}{l in RR : Pr[L(\vec u) <= l] >= \alpha}$

Posto per ipotesi che $L, c in C^1$ rispetto a $u_i $ $AA$ $ i$, cosa posso dire sulla differenziabilità della finzione

$F(\vec u)= E[min{L(\vec u),c(\vec u)}]$

dove $E

$ è ovviamente il valore atteso?

Io direi che è tutt'altro che scontanta... diversamente dall'articolo sul quale ho trovato la questione.... Voi che ne pensate?

[fede.unive]

Ho provato a svolgere un po i calcoli... Ditemi se c'è qualcosa di sbagliato. (ho "riscritto" alcune cose per renderle maggiormente comprensibili).

$F(\vec u)=F(L,\vecu)=E[min{L(\vec u),c(L,\vec u)}]=int_{-oo}^{+oo} min{L(\vec u),c(L,\vec u)} cdot f(l)$$ $ $ dl =$
$=int_{-oo}^{+oo} min{sum_{i=1}^{n} l_i * u_i ; text{inf} {c in RR : Pr(L<=c)>=\alpha} } cdot f(l) $$ $ $ dl $

dove $f(l)$ è ovviamente la funzione di densità della varibile perdita complessiva $L$.
Inoltre il testo poi afferma che:

$F(\vec u)=F(L,\vecu)=c(L,\vec u) * Pr[L(\vec u)>c(L,\vec u)]+ E[L(\vec u) * 1_{{L(\vec u)<=c(L,\vec u)}}]=$
$=c(L,\vec u) *Pr[L(\vec u)>c(L,\vec u)]+ Pr[L(\vec u)<=c(L,\vec u)]*E[L(\vec u) | L(\vec u)<=c(L,\vec u)]$

Anche la minima riflessione potrebbe rivelarsi una panacea