Differenza tra ortogonalita, I correlazione

[carlo961]

Buon giorno
Ho già trovato un espressione su internet che dice che la covarianza tra 2 v.A è data dalla correlazione meno il prodotto delle medie delle 2 v. A, però mi sorge qualche dubbio :
1 la correlazione tra 2 v. A è data dal valore atteso del prodotto delle 2 v. A? Se così fosse qual è la differenza rispetto al coefficiente di correlazione (visto che hanno lo stesso nome quasi)?
Grazie mille

[cooper1]

Ciao. Che io sapessi il valore atteso del prodotto di due variabili aleatorie non ha un nome.
Ho sempre sentito chiamare "covarianza" la quantità $\mathbb{E}[XY] - \mathbb{E}[X]\mathbb{E}[X]$ e "correlazione" o "indice/coefficiente di correlazione (di Pearson)" la quantità $\rho = \frac{ \text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$.

[carlo961]

Grazie mille
Perché ho trovato proprio su questo forms che chiamavano il valore atteso del prodotto di 2 v.a nel modo che ho scritto nel messaggio precedente. Comunque ti volevo chiedere, eventualmente mi sai dire la differenza tra ortogonalità e incorrelazione e quando coincidono?
Inoltre è giusto dire che se la covarianza è nulla allora le 2 v.a sono incorrelate?

[cooper1]

"carlo96":Perché ho trovato proprio su questo forms che chiamavano il valore atteso del prodotto di 2 v.a nel modo che ho scritto nel messaggio precedente

bho, personalmente non ho mai sentito altri nomi se non quelli che ti dicevo però può essere che sia una terminologia usata da alcuni. alla fine sono solo nomi, bisogna mettersi d'accordo e chiarire a seconda del contesto, a cosa ci si sta riferendo.

Interpretando le v.a. come vettori di uno spazio vettoriale, possiamo definire il prodotto scalare $(X,Y) := \mathbb{E}[XY]$.
quando questo prodotto scalare si annulla, si dice che le v.a. sono ortogonali. pertanto i due concetti coincidono quando una delle variabili è a media nulla.

"carlo96":Inoltre è giusto dire che se la covarianza è nulla allora le 2 v.a sono incorrelate?

corretto

[carlo961]

Grazie della risposta
Ti volevo chiedere ancora:
Quindi 2 variabili aleatorie sono ortogonali se il valore atteso del prodotto di variabili aleatorie è nullo? $ È [XY] =0 $ (Non ho però capito il motivo di ciò) . Infine ortogonalità e incorrelazione coincidono quando una delle 2 v.a è a media nulla poiché vale la relazione che
$ cov(X, Y)= E[XY] - E[X] E[Y] $?

Grazie mille

[cooper1]

se vuoi, il concetto di ortogonalità non è proprio delle v.a. ma dei vettori. due vettori si dicono ortogonali quando il loro prodotto scalare è nullo. trasportando in probabilità questo concetto, se prendo come prodotto scalare quel valore atteso, allora l'ortogonalità significa che deve essere nullo $\mathbb{E}[XY]$.

"carlo96":Infine ortogonalità e incorrelazione coincidono quando una delle 2 v.a è a media nulla poiché vale la relazione che
cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]?

esatto: se per esempio $mathbb{E}[X]$ allora $\text{Cov}(X,Y) = mathbb{E}[XY]$

[Bokonon]

"cooper":bisogna mettersi d'accordo e chiarire a seconda del contesto, a cosa ci si sta riferendo.

E' verosimile che abbia letto un post (o altro) in cui si parlava di V.A. scarti dalla media.

[Bokonon]

"cooper":bisogna mettersi d'accordo e chiarire a seconda del contesto, a cosa ci si sta riferendo.

E' verosimile che abbia letto un post (o altro) in cui si parlava di V.A. scarti dalla media.

[cooper1]

"Bokonon":E' verosimile che abbia letto un post (o altro) in cui si parlava di V.A. scarti dalla media.

bho sinceramente per come ha definito la covarianza ad inizio topic l'OP non direi. in particolare la frase

"carlo96":la covarianza tra 2 v.A è data dalla correlazione meno il prodotto delle medie delle 2 v. A

mi fa pesare alla formula "estesa" e non a quella data come media del prodotti di due variabili scarto, anche se così in effetti avrebbe senso.

però tutto è possibile. questo in effetti prova un po' quello che volevo far trasparire nel messaggio che hai citato: ci possono essere tanti modi di definire un oggetto ed altrettanti modi per chiamarlo. bisogna sapere il riferimento che si sta usando cosa intenda con certi termini. poi personalmente non sono mai stato un grande amante dei nomi perché spesso non si sa a cosa ci si riferisca, almeno io (i teoremi di Liouville per esempio mi hanno sempre creato una confusione incredibile )