Differenti definizioni di "errore relativo" (e di "errore assoluto")
Salve a tutti,
mi colloco principalmente nell'ambito della metrologia, supponiamo di misurare \( n \) volte e di avere così \(x_1,x_2,...,x_i,..,x_n \) misure e di avere come migliore stima rappresentativa di tali misurazioni il "famigerato" \( x_{best }\)... partiamo dalla definizione di errore assoluto associato alla generica misura \( x_i \), secondo wikipedia è il rapporto $$ E_{ass.}(x_i):=\frac{|x_i-x_{best}|}{2} $$ l'errore relativo associato alla generica \( x_i \) invece è definito secondo wikipedia ( e non solo CLIC) come il rapporto $$E_{rel.}(x_i):=\frac{E_{ass.}(x_i)}{x_{best}}$$ stranamente però come testo non uso wikipedia,
, ma "Introduzione all'analisi degli errori di J.R.Taylor" in cui l'errore relativo è definito come $$E_{rel.}(x_i):=\frac{\Delta_{tot}}{|x_{best}|}$$ ove \( \Delta_{tot} \), che lui indica con \(\delta x \) ( nel senso di "incertezza associata ad \(x_{best}\)", la quale sarà un determinato parametro reale a seconda della distribuzione limite che si preferisce adottare all'istogramma delle misure, per il Taylor deve essere positivo è meglio rappresentare il set delle nostre misure (in sostanza all'aumentare delle misure questo deve diminuire anche)), è in effetti "l'errore sperimentale associato al set delle misure"[nota]in realtà lo penso/deduco io, il Taylor preferisce esprimere, direttamente (forse lo dice un pò più avanti del capitolo riguardante l'errore relativo, o incertezza frazionaria 
ma penso che il succo sia lo stesso, il Foti-Giannino mi viene incontro però), un set di misure con la scrittura più rappresentativa del tipo \( x_{best} \pm \delta x \)[/nota]; già qui vedo una notevole differenza di concetti.. quello che più mi colpisce è legato al fatto che la prima definizione di errore relativo è associata alla singola misure, la seconda a tutto il set di misure!! Ma il testo da me usato non è il solo a dare delle definizioni alquanto strane o magari giuste, ma sicuramente diverse, mi sto rivolgendo alla versione in inglese della pagine relativa all'errore relativo su Wikipedia in cui l'errore relativo[nota]perdonatemi il gioco "relativo" della parola 
[/nota] è definito $$E_{rel.}(x_i):=\frac{E_{ass.}(x_i)}{|x_{best}|}$$ almeno questa potrebbe entrare nella tonalità della prima definizione, e mi sembra anche più corretta, perchè prende l'errore relativo positivo..
Morale, come mai vi sono tutte queste diverse visioni di vedere/definire l'errore relativo? Ho cercato di rispondermi nel capire meglio la definizione di errore relativo, come precisione, associato ad un set di misure sfogliando altri testi come "Elementi di analisi dei dati sperimentali di A. Foti C. Giannino" ma nel testo vi trovo come precisione associata al set di misure una ulteriore formula[nota]in sintesi ho incontrato due modi di definire l'errore relativo associato ad una singola misura, e due modi di definire l'errore relativo associato ad un set di misure.. tanto per cambiare
[/nota] $$\frac{1}{\sigma_x}$$ ove $\sigma_x$ per lui è "l'errore casuale/accidentale" ovvero statisticamente $$\left\{\begin{matrix}
\sigma_x=\sqrt{\sigma_x^2} \\
\sigma_x^2=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-x_{best})^2f(x)dx \\
x_{best}=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx
\end{matrix}\right.$$ ove \( f(x)\) è la distribuzione limite (o di probabilità) che meglio si adatta al nostro istogramma di misure!! Mi domando "ma perchè tutto sto casino?"
tanto vale usare come "parametro della precisione associata ad un set di misure" lo stesso \(\sigma_x \) piuttosto che l'inverso, ovvero \( \frac{1}{\sigma_x} \)... Ringrazio chiunque voglia darmi una qualche delucidazione/spiegazione in merito!! Preciso inoltre, nella definizione dell'errore assoluto associato ad una misura generica \( x_i \) il valore \( x_{best} \) è dato da quest'ultimo integrale!
Saluti
P.S.=forse mi sono risposto da solo sul fatto dell'errore relativo ad una singola misura e ad un set di misure, ma ancora non capisco come mai vi sono differenti definizioni sull'errore relativo associato ad una singola misura!
EDIT= Addirittura in "Statistica descrittiva di G.Leti" leggo che per lui l'errore relativo (associato ad \( x_i \)) è il rapporto \( \displaystyle \frac{x_i-x_{best}}{x_{best}} \) o \(\displaystyle \frac{x_i-x_{best}}{x} \).. e quello al numeratore è l'errore assoluto (associato ad \( x_i \)) (a me il numeratore sembra più "l'errore di accuratezza") mha!! 
Arrivati a sto punto preferisco prendere tutto in valore assoluto e taglio la testa al toro.. (ho imparato che l'errore, qualsiasi esso sia, è comodo prenderlo sempre positivo)
mi colloco principalmente nell'ambito della metrologia, supponiamo di misurare \( n \) volte e di avere così \(x_1,x_2,...,x_i,..,x_n \) misure e di avere come migliore stima rappresentativa di tali misurazioni il "famigerato" \( x_{best }\)... partiamo dalla definizione di errore assoluto associato alla generica misura \( x_i \), secondo wikipedia è il rapporto $$ E_{ass.}(x_i):=\frac{|x_i-x_{best}|}{2} $$ l'errore relativo associato alla generica \( x_i \) invece è definito secondo wikipedia ( e non solo CLIC) come il rapporto $$E_{rel.}(x_i):=\frac{E_{ass.}(x_i)}{x_{best}}$$ stranamente però come testo non uso wikipedia,
, ma "Introduzione all'analisi degli errori di J.R.Taylor" in cui l'errore relativo è definito come $$E_{rel.}(x_i):=\frac{\Delta_{tot}}{|x_{best}|}$$ ove \( \Delta_{tot} \), che lui indica con \(\delta x \) ( nel senso di "incertezza associata ad \(x_{best}\)", la quale sarà un determinato parametro reale a seconda della distribuzione limite che si preferisce adottare all'istogramma delle misure, per il Taylor deve essere positivo è meglio rappresentare il set delle nostre misure (in sostanza all'aumentare delle misure questo deve diminuire anche)), è in effetti "l'errore sperimentale associato al set delle misure"[nota]in realtà lo penso/deduco io, il Taylor preferisce esprimere, direttamente (forse lo dice un pò più avanti del capitolo riguardante l'errore relativo, o incertezza frazionaria ma penso che il succo sia lo stesso, il Foti-Giannino mi viene incontro però), un set di misure con la scrittura più rappresentativa del tipo \( x_{best} \pm \delta x \)[/nota]; già qui vedo una notevole differenza di concetti.. quello che più mi colpisce è legato al fatto che la prima definizione di errore relativo è associata alla singola misure, la seconda a tutto il set di misure!! Ma il testo da me usato non è il solo a dare delle definizioni alquanto strane o magari giuste, ma sicuramente diverse, mi sto rivolgendo alla versione in inglese della pagine relativa all'errore relativo su Wikipedia in cui l'errore relativo[nota]perdonatemi il gioco "relativo" della parola [/nota] è definito $$E_{rel.}(x_i):=\frac{E_{ass.}(x_i)}{|x_{best}|}$$ almeno questa potrebbe entrare nella tonalità della prima definizione, e mi sembra anche più corretta, perchè prende l'errore relativo positivo.. Morale, come mai vi sono tutte queste diverse visioni di vedere/definire l'errore relativo? Ho cercato di rispondermi nel capire meglio la definizione di errore relativo, come precisione, associato ad un set di misure sfogliando altri testi come "Elementi di analisi dei dati sperimentali di A. Foti C. Giannino" ma nel testo vi trovo come precisione associata al set di misure una ulteriore formula[nota]in sintesi ho incontrato due modi di definire l'errore relativo associato ad una singola misura, e due modi di definire l'errore relativo associato ad un set di misure.. tanto per cambiare
[/nota] $$\frac{1}{\sigma_x}$$ ove $\sigma_x$ per lui è "l'errore casuale/accidentale" ovvero statisticamente $$\left\{\begin{matrix}\sigma_x=\sqrt{\sigma_x^2} \\
\sigma_x^2=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-x_{best})^2f(x)dx \\
x_{best}=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx
\end{matrix}\right.$$ ove \( f(x)\) è la distribuzione limite (o di probabilità) che meglio si adatta al nostro istogramma di misure!! Mi domando "ma perchè tutto sto casino?"
tanto vale usare come "parametro della precisione associata ad un set di misure" lo stesso \(\sigma_x \) piuttosto che l'inverso, ovvero \( \frac{1}{\sigma_x} \)... Ringrazio chiunque voglia darmi una qualche delucidazione/spiegazione in merito!! Preciso inoltre, nella definizione dell'errore assoluto associato ad una misura generica \( x_i \) il valore \( x_{best} \) è dato da quest'ultimo integrale!Saluti
P.S.=forse mi sono risposto da solo sul fatto dell'errore relativo ad una singola misura e ad un set di misure, ma ancora non capisco come mai vi sono differenti definizioni sull'errore relativo associato ad una singola misura!
EDIT= Addirittura in "Statistica descrittiva di G.Leti" leggo che per lui l'errore relativo (associato ad \( x_i \)) è il rapporto \( \displaystyle \frac{x_i-x_{best}}{x_{best}} \) o \(\displaystyle \frac{x_i-x_{best}}{x} \).. e quello al numeratore è l'errore assoluto (associato ad \( x_i \)) (a me il numeratore sembra più "l'errore di accuratezza")
mha!! Arrivati a sto punto preferisco prendere tutto in valore assoluto e taglio la testa al toro.. (ho imparato che l'errore, qualsiasi esso sia, è comodo prenderlo sempre positivo)
Risposte
non so se rispondo al tuo dubbio, però so che anche a livello più elementare, mentre rimane la definizione generale di errore relativo come rapporto tra errore assoluto e valore medio, essendo diversi i modi per definire l'errore assoluto, va preso il più grande tra i vari risultati.
ad esempio, se si esegue una misura semplicissima più volte, è abbastanza probabile che il cosiddetto errore massimo definito come semidispersione risulti nullo, ed in quel caso come errore assoluto si prende la sensibilità dello strumento.
ciao.
ad esempio, se si esegue una misura semplicissima più volte, è abbastanza probabile che il cosiddetto errore massimo definito come semidispersione risulti nullo, ed in quel caso come errore assoluto si prende la sensibilità dello strumento.
ciao.
@adaBTTLS
ti ringrazio della risposta
OK, quindi al denominatore non metto \( x_{best} \) in valore assoluto?
quindi quale dovrei prendere? Quella in cui il numeratore in valore assoluto è diviso per \( 2 \) o quella in cui è solo \( x_i -x_{best} \)?
perdonami.. ma non capisco l'esempio!
Saluti
ti ringrazio della risposta
"adaBTTLS":
non so se rispondo al tuo dubbio, però so che anche a livello più elementare, mentre rimane la definizione generale di errore relativo come rapporto tra errore assoluto e valore medio
OK, quindi al denominatore non metto \( x_{best} \) in valore assoluto?
"adaBTTLS":
essendo diversi i modi per definire l'errore assoluto, va preso il più grande tra i vari risultati.
quindi quale dovrei prendere? Quella in cui il numeratore in valore assoluto è diviso per \( 2 \) o quella in cui è solo \( x_i -x_{best} \)?
"adaBTTLS":
ad esempio, se si esegue una misura semplicissima più volte, è abbastanza probabile che il cosiddetto errore massimo definito come semidispersione risulti nullo, ed in quel caso come errore assoluto si prende la sensibilità dello strumento.
perdonami.. ma non capisco l'esempio!
Saluti
Non so esattamente che cosa chiami $x_(best)$, però dovrebbe corrispondere a quello che io chiamo "valore medio".
Presupposto che in una misura non si conosce il valore esatto, altrimenti non ci sarebbe bisogno di considerare gli errori, diciamo che il valore medio o valore atteso o valore esatto di cui parla Wikipedia sia la stessa cosa.
Quello che io definisco sensibilità dello strumento (dovresti saperlo anche tu) è quello si prende come errore assoluto sulla singola misura. Spero di farti capire che cosa intendevo con l'esempio di misura "semplice": se c'è da misurare con un righello (o con un metro) una lunghezza che sia non superiore alla portata dello strumento, anche se si ripete il procedimento di misurazione è difficile che si rilevino misure diverse; in questo caso la semidispersione, definita come $(v_(max) - v_(min))/2$ sarà quasi sicuramente uguale a zero; se si è usato un righello con sensibilità di $1 mm$, si prenderà $1 mm$ (o $0,5 mm$, a seconda di come lo si definisce o si stabilisce, non sono tutte concordi le definizioni) come errore assoluto. La media delle misure (o la singola misura come caso particolare) si prendono come $v_m$ o $x_(best)$.
Questo in generale come distinzione tra una singola misura e la media di tutte le misure. La definizione dell'errore statistico segue un suo schema particolare, ma immagino che anch'essa vada considerata nello stesso modo.
Caso per caso, devi considerare qual è la parte più importante dell'errore, e quindi vedere se prendere come errore assoluto:
1. la sensibilità dello strumento;
2. la semidispersione;
3. l'errore statistico;
il valore più grande dei tre (che chiamiamo $E_a$), da cui $E_r =( E_a)/(x_(best))$.
il 1° dicevo che risulta il più grande quando non ci sono grandi possibilità di sbagliare una misura;
gli altri due prevarranno quando "è facile sbagliare": io sono solita fare come esempio ai miei studenti di terzo superiore la rilevazione del periodo di oscillazione di un pendolo, in cui entrano in gioco tante variabili e non è facile far partire il cronometro e bloccare lo stesso strumento nel momento preciso, e quindi inevitabilmente gli errori di misura sono alti.
Spero di aver chiarito ciò che intendevo.
Ciao.
Presupposto che in una misura non si conosce il valore esatto, altrimenti non ci sarebbe bisogno di considerare gli errori, diciamo che il valore medio o valore atteso o valore esatto di cui parla Wikipedia sia la stessa cosa.
Quello che io definisco sensibilità dello strumento (dovresti saperlo anche tu) è quello si prende come errore assoluto sulla singola misura. Spero di farti capire che cosa intendevo con l'esempio di misura "semplice": se c'è da misurare con un righello (o con un metro) una lunghezza che sia non superiore alla portata dello strumento, anche se si ripete il procedimento di misurazione è difficile che si rilevino misure diverse; in questo caso la semidispersione, definita come $(v_(max) - v_(min))/2$ sarà quasi sicuramente uguale a zero; se si è usato un righello con sensibilità di $1 mm$, si prenderà $1 mm$ (o $0,5 mm$, a seconda di come lo si definisce o si stabilisce, non sono tutte concordi le definizioni) come errore assoluto. La media delle misure (o la singola misura come caso particolare) si prendono come $v_m$ o $x_(best)$.
Questo in generale come distinzione tra una singola misura e la media di tutte le misure. La definizione dell'errore statistico segue un suo schema particolare, ma immagino che anch'essa vada considerata nello stesso modo.
Caso per caso, devi considerare qual è la parte più importante dell'errore, e quindi vedere se prendere come errore assoluto:
1. la sensibilità dello strumento;
2. la semidispersione;
3. l'errore statistico;
il valore più grande dei tre (che chiamiamo $E_a$), da cui $E_r =( E_a)/(x_(best))$.
il 1° dicevo che risulta il più grande quando non ci sono grandi possibilità di sbagliare una misura;
gli altri due prevarranno quando "è facile sbagliare": io sono solita fare come esempio ai miei studenti di terzo superiore la rilevazione del periodo di oscillazione di un pendolo, in cui entrano in gioco tante variabili e non è facile far partire il cronometro e bloccare lo stesso strumento nel momento preciso, e quindi inevitabilmente gli errori di misura sono alti.
Spero di aver chiarito ciò che intendevo.
Ciao.
@Sergio,
chiaro e preciso
, ho capito perfettamente!! il casino non era riferito alle formule/integrali quanto piuttosto nell'usare come precisione l'inverso di \( \sigma_x \)... per il Taylor la precisione è il solo \(\sigma_x\), ovviamente più grande è \( \sigma_x \) più piccolo è \(\displaystyle \frac{1}{\sigma_x} \), prendendo come esempio la gaussiana ottengo che più grande è \( \sigma_x \) meno precisa è la nostra misurazione ovvero più piccolo è \( \displaystyle \frac{1}{\sigma_x} \) ergo più la campana verrà schiacciata.. penso giustamente?
si, in effetti è \(10^{100}\), , volte interessante! Grazie !
Saluti
edit: mi sa che lo avevi scritto:
giusto? Se si, allora sono proprio sbadato !
chiaro e preciso
, ho capito perfettamente!! il casino non era riferito alle formule/integrali quanto piuttosto nell'usare come precisione l'inverso di \( \sigma_x \)... per il Taylor la precisione è il solo \(\sigma_x\), ovviamente più grande è \( \sigma_x \) più piccolo è \(\displaystyle \frac{1}{\sigma_x} \), prendendo come esempio la gaussiana ottengo che più grande è \( \sigma_x \) meno precisa è la nostra misurazione ovvero più piccolo è \( \displaystyle \frac{1}{\sigma_x} \) ergo più la campana verrà schiacciata.. penso giustamente? "Sergio":
PS: Potresti trovare interessante questo documento in cui si distingue nettamente tra "errore" e "incertezza" e si usa \(\sigma_x\) al posto di \(\delta x\).
si, in effetti è \(10^{100}\),
, volte interessante! Grazie !Saluti
edit: mi sa che lo avevi scritto:
"Sergio":
Chiaramente più le tue misure sono disperse maggiore è \(\sigma_x\), quindi minore è la precisione.
NB: maggiore la precisione, minore l'incertezza, e viceversa. Maggiore la precisione, minori sia \(\sigma_x\) che il \(\delta x\) di Taylor.
giusto? Se si, allora sono proprio sbadato !
@Sergio,
grazie, mi sei stato di enorme aiuto.. ora ho una leggera visione d'insieme più precisa!!
Saluti
grazie, mi sei stato di enorme aiuto.. ora ho una leggera
visione d'insieme più precisa!! Saluti
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