Deviazione standard dell'energia cinetica

[morgano2011]

Devo fare l'esame di calcolo delle probabilità e mi sono imbattuto in alcuni esercizi che ho difficoltà nel risolvere...mi date una mano?

La velocità di una particella di massa 2 ha distribuzione normale standard; la d.s. dell'energia cinetica vale?

a) 1.44
b) 1.41
c) 1.43
d) 1.45

* l'energia cinetica è $K = 1/2 mv^2$

se la particella ha distribuzione normale standard che valore si deve attribuire alla velocità in modo tale che possa calcolare l'energia cinetica?

[hamming_burst]

sta tutto sull'utilizzare le semplici proprietà della normale standard.

\(V \sim \mathcal{N}(0,1)\) allora $K = 1/2mV^2 = V^2$ perchè la massa è $2$.
Quindi quello che devi trovare è semplicemente:

$\sigma_k = \sqrt(Var(K)) = \sqrt(Var(V^2))$

dalla definizione di varianza sai che: $Var(K) = E[K^2] - E[K]^2$
sai anche che $V$ è normale quindi $E[V] = 0$ e $Var(V) = 1$

riordina i dati e troverai la varianza ed implicitamente la deviazione standard.

[morgano2011]

quindi...se devo trovare sqrt Var(V^2) e sò che V^2 è uguale a 2 devo fare semplicemente la sqrt 2 ed avrò 1.41

[hamming_burst]

"morgano2011":quindi...se devo trovare sqrt Var(V^2) e sò che V^2 è uguale a 2 devo fare semplicemente la sqrt 2 ed avrò 1.41

sì.

$Var(V^2) = E[V^4] - E[V^2]^2 = E[V^4] - 1$

$E[V^4]=3$ è il momento di ordine $4$ della normale standard, quindi è semplicimente calcolabile.

quindi $Var(V^2) = 3 - 1 -> \sqrt(2) = \sigma_k$

[morgano2011]

ti ringrazio