Determinazione dei risultati di un esperimento
Salve, ho un dubbio circa la determinazione dell'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento.
In particolare, mi riferisco all'esperimento ${lancio\ \di\ \un\ \dado}$. Come sappiamo, l'insieme dei possibili eventi elementari associato all'esperimento è il seguente: ${f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6}$, dove $f_i , i=1,...,6$ sono le facce del dado.
Sappiamo che, dalla teoria del Calcolo combinatorio, l'insieme di tutti i possibili risultati contiene $2^6$ elementi, ma come è possibile analiticamente spiegare questo risultato? Intuitivamente, si può pensare che ogni faccia può o meno presentarsi, ma così facendo si avrebbero soltanto $12$ elementi: ${f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,bar(f_1),bar(f_2),bar(f_3),bar(f_4),bar(f_5),bar(f_6)}$. In cosa pecca il mio ragionamento?
In particolare, mi riferisco all'esperimento ${lancio\ \di\ \un\ \dado}$. Come sappiamo, l'insieme dei possibili eventi elementari associato all'esperimento è il seguente: ${f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6}$, dove $f_i , i=1,...,6$ sono le facce del dado.
Sappiamo che, dalla teoria del Calcolo combinatorio, l'insieme di tutti i possibili risultati contiene $2^6$ elementi, ma come è possibile analiticamente spiegare questo risultato? Intuitivamente, si può pensare che ogni faccia può o meno presentarsi, ma così facendo si avrebbero soltanto $12$ elementi: ${f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6,bar(f_1),bar(f_2),bar(f_3),bar(f_4),bar(f_5),bar(f_6)}$. In cosa pecca il mio ragionamento?
Risposte
$ sum_(i=0)^(6)((6), (i))=64=2^6$
devi considerare TUTTI i possibili sottoinsiemi di ${1; 2; 3; 4; 5; 6} $, ovvero
${phi; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 12; 13; 14;...;123456} $
devi considerare TUTTI i possibili sottoinsiemi di ${1; 2; 3; 4; 5; 6} $, ovvero
${phi; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 12; 13; 14;...;123456} $
@tommik
Un chiarimento ...
È pacifico che tutti i sottoinsiemi di un insieme di $n$ elementi siano in numero pari a $2^n$; è altrettanto vero che se lancio un dado solo, i possibili esiti sono solo sei; la domanda quindi è: cosa rappresentano i $64$ sottoinsiemi? e i $58$ eventi diversi dai sei singoletti? D'accordo, hanno probabilità zero ma a cosa mi servono, che senso hanno?
Scusa le domande banali ma mi "sorgono spontanee" ...
Cordialmente, Alex
Un chiarimento ...
È pacifico che tutti i sottoinsiemi di un insieme di $n$ elementi siano in numero pari a $2^n$; è altrettanto vero che se lancio un dado solo, i possibili esiti sono solo sei; la domanda quindi è: cosa rappresentano i $64$ sottoinsiemi? e i $58$ eventi diversi dai sei singoletti? D'accordo, hanno probabilità zero ma a cosa mi servono, che senso hanno?
Scusa le domande banali ma mi "sorgono spontanee" ...
Cordialmente, Alex
${1; 2; 3; 4; 5; 6} $ è lo spazio campionario l'altra è la $ sigma $ algebra più estesa, ovvero il più esteso spazio degli eventi. Ovviamente a seconda dell'evento a cui siamo interessati lanciando il dado costruiremo la $ sigma $ algebra che ci conviene di più (la più piccola, chiusa rispetto alle operazioni di unione, intersezione e complementazione). Essa conterrà l'evento a cui siamo interessati, il suo complementare, l'evento impossibile e quello certo.
Non è detto che i 58 eventi oltre i singoletti abbiano probabilità zero.
il lancio del dado è l'esperimento
i 6 singoletti rappresentano lo spazio campionario
l'evento deve essere definito: es " esce un numero dispari"
Non è detto che i 58 eventi oltre i singoletti abbiano probabilità zero.
il lancio del dado è l'esperimento
i 6 singoletti rappresentano lo spazio campionario
l'evento deve essere definito: es " esce un numero dispari"
"tommik":
... l'altra è la $ sigma $ algebra più estesa, ...
Secondo te, io conosco quella roba lì ? ...
Sì, so cos'è un evento e uno spazio degli eventi, quello che mi spiazza un po' è pensare ad un evento in cui, con un solo lancio di un solo dado, ottengo tutti i sei valori ...
Cordialmente, Alex
P.S.: Ma la voce su Wikipedia l'hai scritta tu?
Estratto da Wiki:
"... La più piccola sigma-algebra contenente l'evento A sarà: ${\text(insieme vuoto), A, A^c, Omega}$.
Non è l'unica ma, tra tutte le sigma algebre contenenti l'evento A, è la più piccola dunque quella che genera meno lavoro e meno problemi. ..."
Non è che lanciando un dado ottieni due valori, però se l'evento connesso all'esperimento è "esce un numero minore di 3" nello spazio degli eventi non includerai gli eventi ${1} $ ; ${2} $ ma includerai l'evento ${1,2} $ a cui assegnerai una probabilità.
wiki l'ho letta prima di rispondere onde evitare di scrivere troppe sciocchezze. .
queste cose non le ho più guardate da 5 lustri fa
wiki l'ho letta prima di rispondere onde evitare di scrivere troppe sciocchezze. .
queste cose non le ho più guardate da 5 lustri fa
In effetti mi sono un po' perso ... l''evento ${1,2,3,4,5,6}$ non significa che escono le sei facce contemporaneamente ma invece vuol dire "va bene tutto, basta che esca qualcosa" ...
"tommik":
wiki l'ho letta prima di rispondere onde evitare di scrivere troppe sciocchezze
Da dove "esce" quella sommatoria?
E se volessi dare un senso quasi intuitivo a quanto detto, come potrei ragionare? Oltre ad includere nei risultati il fatto che escano o non escano tutte le facce ( i 12 risultati di cui ho parlato sopra) quali altri eventi dovrei aggiungere a questi 12 per giungere ai 64?
E se volessi dare un senso quasi intuitivo a quanto detto, come potrei ragionare? Oltre ad includere nei risultati il fatto che escano o non escano tutte le facce ( i 12 risultati di cui ho parlato sopra) quali altri eventi dovrei aggiungere a questi 12 per giungere ai 64?
Te li ho anche scritti
6 eventi singoletti
15 coppie
20 terne
15 quaterne
6 cinquine
l'evento "insieme vuoto"
l'evento $ Omega $
Tu hai incluso solo i 6 eventi singoletti e le 6 cinquine
6 eventi singoletti
15 coppie
20 terne
15 quaterne
6 cinquine
l'evento "insieme vuoto"
l'evento $ Omega $
Tu hai incluso solo i 6 eventi singoletti e le 6 cinquine
Come mai tali eventi vengono inclusi se poi non sono "fisicamente" realizzabili? Ovvero: se può - in linea di massima - uscire una sola faccia del dado alla volta, qual è il significato del fatto che si includano le coppie, le terne ecc?
"gc95":
Salve, ho un dubbio circa la determinazione dell'insieme di tutti i possibili risultati di un esperimento.
In particolare, mi riferisco all'esperimento ${lancio\ \di\ \un\ \dado}$. Come sappiamo, l'insieme dei possibili eventi elementari associato all'esperimento è il seguente: ${f_1,f_2,f_3,f_4,f_5,f_6}$, dove $f_i , i=1,...,6$ sono le facce del dado.
Sappiamo che, dalla teoria del Calcolo combinatorio, l'insieme di tutti i possibili [strike]risultati[/strike] eventi che si possono costruire partendo dagli eventi elementari $omega_(i)$ contiene $2^6$ elementi....
Fai una grossa e pericolosa confusione fra spazio dei risultati e spazio degli eventi. In rosso ho provato a correggere il tuo post così da renderlo corretto dal punto di vista terminologico.
Lo spazio dei risultati (detto anche spazio campionario), si indica con $Omega$ e, limitandoci per ora al caso finito, è $Omega={w_(1),...,omega_(n)}$ e corrisponde all'insieme degli eventi elementari. Questo è l'insieme di tutti i possibili risultati dell'esperimento. Non contiene $2^n$ elementi ma unicamente $n$.
Nel caso dell'esperimento in questione abbiamo:
$Omega={1;2;3;4;5;6}$
Lo spazio degli eventi è una cosa diversa: è l'insieme di tutti gli eventi che si possono costruire partendo da $Omega$. Tale famiglia si chiama Algebra ed è una famiglia cosiddetta "Classe additiva" ovvero è chiusa rispetto alle operazioni di unione, complementazione e, di conseguenza, anche di intersezione. Tali proprietà di chiusura sono necessarie per poter effettuare le operazioni necessarie alla risoluzione dei problemi di calcolo delle probabilità. Infatti, una volta definita l'Algebra, devo essere in grado di poter calcolare unione, intersezione e complementazione di eventi senza uscire dalla classe di eventi.
Lo spazio di probabilità invece, è identificato dalla seguente terna $(Omega, A, P)$ dove $Omega$ è lo spazio dei risultati, $A$ è l'algebra o $sigma$-Algebra cioè un sottospazio degli eventi per i quali è possibile calcolare una probabilità, e $P$ è la misura di probabilità.
ES: consideriamo l'esperimento del lancio di un dado e consideriamo i seguenti eventi:
$A_(1)$: Esce un numero pari. L'evento è ${2;4;6}$
$A_(2)$: Esce un numero divisibile per 3. L'evento è ${3;6}$
$A_(3)$: Esce un numero maggiore di uno. L'evento è ${2;3;4;5;6}$
il tuo problema sarà assegnare una probabiltà ad ogni EVENTO non ad ogni elemento dello spazio campionario (o dei risultati)
nel nostro caso sarà
$P(A_(1))=1/2$
$P(A_(2))=1/3$
$P(A_(3))=5/6$
Nella risoluzione di problemi di Calcolo delle Probabilità dovrai necessariamente calcolare probabilità del tipo
$P(A uu B)$;$P(A nn B)$;$P(A | B)$ ecc ecc...e per questo è necessario che la classe degli eventi sia un'Algebra o, vedrai in seguito, una $sigma$- Algebra
Se non ti sono chiari questi concetti base ti sconsiglio di proseguire prima aver colmato le lacune; oltretutto queste cose si trovano su TUTTI i testi base di calcolo delle probabilità
ciao
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