Determinare k, media, mediana, moda di una funzione casuale continua.
Salve, vorrei sottoporre la mia risoluzione a qualcuno di più ferrato di me in materia.
k:
$\int_{0}^{2} kx(4-x^2) dx = int_{0}^{2} 4kx-kx^3 dx = (2x^2-(kx^4)/4) *** = 4k $
visto che l'area deve fare 1, k vale 1/4.
funzione di ripartizione:
$\int_{0}^{x} t/4(4-t^2) dt = int_{0}^{x} (t-t^3/4-t^4/16) *** = x^2/2 - x^4/16 $
grazie alla relazione fra le due funzioni, calcolo l'integrale della funzione di probabilità che mi da quella di ripartizione.
moda:
Cerco il massimo nella funzione di probabilità; quindi faccio derivata e vedo dove si annulla.
$f'(x)=\ 1-x^3/4 $ che si annulla quando $x = 2/sqrt(3)$
mediana:
pongo la funz di ripartizione = 1/2
$x^2/2-x^4/16=1/2$
probabilità:
$P(X=1)=0$ perché la probabilità di un punto è sempre nulla
$P(0.5
Dove ho sbagliato? perché di aver fatto tutto giusto non credo proprio
Grazie!
ps dove ho messo * nei calcoli, intendo che che sto per sostituire i valori alle incognite (non trovavo il simbolo).
Sia X una variabile casuale continua con funzione di densità:
$\{(kx(4-x^2) se x in [0,2]),(0 ):}$
Si determini k di modo che fX(x) sia effettivamente una funzione di densità e si specifichi la
funzione di ripartizione. Si calcoli la media, la moda, la mediana della variabile casuale X.
Inoltre, si determini P(X = 1) e P(0,5 < X < 1,5).
k:
$\int_{0}^{2} kx(4-x^2) dx = int_{0}^{2} 4kx-kx^3 dx = (2x^2-(kx^4)/4) *** = 4k $
visto che l'area deve fare 1, k vale 1/4.
funzione di ripartizione:
$\int_{0}^{x} t/4(4-t^2) dt = int_{0}^{x} (t-t^3/4-t^4/16) *** = x^2/2 - x^4/16 $
grazie alla relazione fra le due funzioni, calcolo l'integrale della funzione di probabilità che mi da quella di ripartizione.
moda:
Cerco il massimo nella funzione di probabilità; quindi faccio derivata e vedo dove si annulla.
$f'(x)=\ 1-x^3/4 $ che si annulla quando $x = 2/sqrt(3)$
mediana:
pongo la funz di ripartizione = 1/2
$x^2/2-x^4/16=1/2$
probabilità:
$P(X=1)=0$ perché la probabilità di un punto è sempre nulla
$P(0.5
Dove ho sbagliato? perché di aver fatto tutto giusto non credo proprio
Grazie!
ps dove ho messo * nei calcoli, intendo che che sto per sostituire i valori alle incognite (non trovavo il simbolo).
Risposte
Quello che hai fatto è tutto giusto. 
Giusto due o tre cosette:
1) ci sono alcuni refusi nei passaggi ma, dato che i risultati sono corretti, immagino che siano solo errori di ricopiatura: la derivata della densità è scritta in modo errato e c'è un po' di confusione nei passaggi intermedi dei due integrali
2) La mediana l'hai impostata ma non l'hai calcolata: $me~~ 1.0824$....forse lo davi per scontato?
3) non vedo il calcolo della media
Complimenti anche per l'ordine dell'esposizione di testo e soluzione....
Se proprio volessimo essere precisini...
1) per verificare che $f_X(x)$ sia una densità non è sufficiente che l'integrale su tutto il dominio sia uno ma occorre anche verificare che $f_X(x)>=0 AAx$
2) la FdR è sempre definita su tutto $RR$, anche se la densità è definita solo in $[0;2]$
Quindi, per la precisione, la FdR diventa la seguente[nota]in realtà spesso si scrive come hai fatto tu ma solo per semplicità di notazione tanto è chiaro a cosa ci si riferisce; l'importante è che tu sappia come va scritta in modo completo, anche perché in alcuni esercizi è importante usare tale notazione[/nota]:
$F_X(x)={{: ( 0 , ;x<0 ),( x^2/2-x^4/16 , ;0<=x<2 ),(1 , ;x>=2) :}$
Per mera convenzione, è consuetudine definirla continua da destra.
Puoi ad esempio fare così: $f(x)]_a^b=f(b)-f(a)$, utilizzando una parentesi quadra con pedice ed apice.
Giusto due o tre cosette:
1) ci sono alcuni refusi nei passaggi ma, dato che i risultati sono corretti, immagino che siano solo errori di ricopiatura: la derivata della densità è scritta in modo errato e c'è un po' di confusione nei passaggi intermedi dei due integrali
2) La mediana l'hai impostata ma non l'hai calcolata: $me~~ 1.0824$....forse lo davi per scontato?
3) non vedo il calcolo della media
Complimenti anche per l'ordine dell'esposizione di testo e soluzione....
Se proprio volessimo essere precisini...
1) per verificare che $f_X(x)$ sia una densità non è sufficiente che l'integrale su tutto il dominio sia uno ma occorre anche verificare che $f_X(x)>=0 AAx$
2) la FdR è sempre definita su tutto $RR$, anche se la densità è definita solo in $[0;2]$
Quindi, per la precisione, la FdR diventa la seguente[nota]in realtà spesso si scrive come hai fatto tu ma solo per semplicità di notazione tanto è chiaro a cosa ci si riferisce; l'importante è che tu sappia come va scritta in modo completo, anche perché in alcuni esercizi è importante usare tale notazione[/nota]:
$F_X(x)={{: ( 0 , ;x<0 ),( x^2/2-x^4/16 , ;0<=x<2 ),(1 , ;x>=2) :}$
Per mera convenzione, è consuetudine definirla continua da destra.
"iggy":
ps dove ho messo * nei calcoli, intendo che che sto per sostituire i valori alle incognite (non trovavo il simbolo).
Puoi ad esempio fare così: $f(x)]_a^b=f(b)-f(a)$, utilizzando una parentesi quadra con pedice ed apice.
"tommik":
1) ci sono un paio di refusi nei passaggi ma, dato che i risultati sono corretti, immagino che siano solo errori di ricopiatura: la derivata della densità è scritta in modo errato e c'è un po' di confusione nei passaggi intermedi dei due integrali
Sì, è che sto più tempo a scrivere l'esercizio online che a farlo e mi scappa qualche refuso.
"tommik":
2) La mediana l'hai impostata ma non l'hai calcolata: me≈1.0824....forse lo davi per scontato?
No, è che non so calcolarla... ho vaghi ricordi di analisi
"tommik":
3) non vedo il calcolo della media
Fatta correttamente, ma me la sono persa.
Un dubbio che probabilmente mi puoi sciogliere.
Che differenza c'è fra $P(X>1/2)$ e $P(|X|>1/2)$ ; è semplicemente da prendere il valore assoluto?
Grazie per le altre dritte, che mi saranno molto utili!
l'equazione che dici di non saper risolvere è una equazione biquadratica...in pratica una normalissima equazione di secondo grado:
$x^2/2-x^4/16=1/2$
elimini i denominatori,
$8x^2-x^4=8$
poni $x^2=y$ e diventa una equazione di secondo grado, risolvi e ne estrai la radice. Solo una soluzione sarà compatibile col dominio della densità.
Infine,
$P(|X|>1/2)=P(X<-1/2) vv P(X>1/2)$
per rendersene conto basta risolvere la disequazione col modulo
$x^2/2-x^4/16=1/2$
elimini i denominatori,
$8x^2-x^4=8$
poni $x^2=y$ e diventa una equazione di secondo grado, risolvi e ne estrai la radice. Solo una soluzione sarà compatibile col dominio della densità.
Infine,
$P(|X|>1/2)=P(X<-1/2) vv P(X>1/2)$
per rendersene conto basta risolvere la disequazione col modulo
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