Densità rapporto variabili aleatorie
Salve a tutti,
vorrei proporvi un esercizio ed il modo in cui l'ho risolto, vi chiederei di dare un'occhiata ed inoltre ogni altra idea per una soluzione alternativa è la benvenuta.
Ho $ X,Y $ due variabili aleatorie entrambe con distribuzione esponenziale di parametro $ 1 $.
Sono interessato al calcolo della densità di probabilità della variabile $ Zdot=X/Y $
Se vale l'indipendenza posso dire che la densità del vettore composto dalle due variabili è $ f_(x,y)=e^-(x+y) $
Poi $ F_z=(X/Y
Derivando ottengo $ f_Z(t)=-1/t^2 $
Cosa ne pensate?
vorrei proporvi un esercizio ed il modo in cui l'ho risolto, vi chiederei di dare un'occhiata ed inoltre ogni altra idea per una soluzione alternativa è la benvenuta.
Ho $ X,Y $ due variabili aleatorie entrambe con distribuzione esponenziale di parametro $ 1 $.
Sono interessato al calcolo della densità di probabilità della variabile $ Zdot=X/Y $
Se vale l'indipendenza posso dire che la densità del vettore composto dalle due variabili è $ f_(x,y)=e^-(x+y) $
Poi $ F_z=(X/Y
Derivando ottengo $ f_Z(t)=-1/t^2 $
Cosa ne pensate?
Risposte
$ F_(Z)(-oo)=0$?
$ f (z)>=0$ $ AA z $?
Non mi pare...il ragionamento è giusto...riguarda i conti..se non riesci stanotte te lo completo io.....stanotte perché sono in USA
$ f (z)>=0$ $ AA z $?
Non mi pare...il ragionamento è giusto...riguarda i conti..se non riesci stanotte te lo completo io.....stanotte perché sono in USA
"tommik":
$ F_(Z)(-oo)=0$?
$ f (z)>=0$ $ AA z $?
Non mi pare...il ragionamento è giusto...riguarda i conti..se non riesci stanotte te lo completo io.....stanotte perché sono in USA
Si c'era un errore negli estremi dell'integrale ma in ogni caso la derivata non è cambiata e come mi fai notare il risultato non è compatibile con una densità o ripartizione... cosa c'è che non va?
Grazie mille tommik, sei una certezza
cosa non va? prima avevi semplicemente sbagliato il dominio di integrazione, ora l'hai corretto ma hai sbagliato a svolgere l'integrale
allora la soluzione corretta è questa:
$F_(Z)(z)=P{Z<=z}=P{X/Y<=z}=intint_(X/Y
$intint_(Y>X/z)e^(-x)e^(-y)dxdy=int_(0)^(+oo)int_(x/z)^(+oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=$
$int_(0)^(oo)e^(-x)[-e^(-y)]_(x/z)^(oo)dx=int_(0)^(oo)e^(-(z+1)/zx)dx=$
$=-z/(z+1)e^(-(z+1)/zx)]_(0)^(oo)=z/(z+1)$
e quindi derivando, $f_(Z)(z)=1/(z+1)^2$
a questo punto possiamo controllare le proprietà della $F_(Z)$.
intanto occorre definire il dominio di z; $z in [0;+oo)$
$F_(Z)(0)=0$
$F_(Z)(oo)=1$
$(dF)/(dz)=1/(z+1)^2>=0 AAz$ ovvero la F è non decrescente.
ora ci siamo!
ora, giusto per romperti un po' le scatole ti proporrei di calcolare la stessa distribuzione $Z=X/Y$ ma con $X,Y$ indipendenti e $U(0;1)$.....ricordati che il prodotto lo hai già calcolato tempo fa...nel post che hai messo in Analisi Matematica...e che Gugo ti ha dato una spiegazione brillante....questo è leggermente più complicato, ma non troppo.
PS: il metodo che hai utilizzato tu si chiama "metodo della funzione di ripartizione, e lo trovi ben spiegato sul Mood Graybill Boes". Penso che sia il metodo più intelligente, anche se non il pù semplice da applicare, e per questo ti invito a guardare anche altri metodi per la trasformazione di variabile, come ad esempio il "metodo della variabile ausiliaria" che è un po' più articolato ma molto più efficace e ti permette di risolvere problemi di trasformazione molto più complessi....
tesi:
grafico per $Z=XY$
...e dimostrazione (utilissima!!)
allora la soluzione corretta è questa:
$F_(Z)(z)=P{Z<=z}=P{X/Y<=z}=intint_(X/Y
$intint_(Y>X/z)e^(-x)e^(-y)dxdy=int_(0)^(+oo)int_(x/z)^(+oo)e^(-x)e^(-y)dxdy=$
$int_(0)^(oo)e^(-x)[-e^(-y)]_(x/z)^(oo)dx=int_(0)^(oo)e^(-(z+1)/zx)dx=$
$=-z/(z+1)e^(-(z+1)/zx)]_(0)^(oo)=z/(z+1)$
e quindi derivando, $f_(Z)(z)=1/(z+1)^2$
a questo punto possiamo controllare le proprietà della $F_(Z)$.
intanto occorre definire il dominio di z; $z in [0;+oo)$
$F_(Z)(0)=0$
$F_(Z)(oo)=1$
$(dF)/(dz)=1/(z+1)^2>=0 AAz$ ovvero la F è non decrescente.
ora ci siamo!
ora, giusto per romperti un po' le scatole ti proporrei di calcolare la stessa distribuzione $Z=X/Y$ ma con $X,Y$ indipendenti e $U(0;1)$.....ricordati che il prodotto lo hai già calcolato tempo fa...nel post che hai messo in Analisi Matematica...e che Gugo ti ha dato una spiegazione brillante....questo è leggermente più complicato, ma non troppo.
PS: il metodo che hai utilizzato tu si chiama "metodo della funzione di ripartizione, e lo trovi ben spiegato sul Mood Graybill Boes". Penso che sia il metodo più intelligente, anche se non il pù semplice da applicare, e per questo ti invito a guardare anche altri metodi per la trasformazione di variabile, come ad esempio il "metodo della variabile ausiliaria" che è un po' più articolato ma molto più efficace e ti permette di risolvere problemi di trasformazione molto più complessi....
tesi:
grafico per $Z=XY$
...e dimostrazione (utilissima!!)
Grazie mille per l'approfondimento,
ora dalle immagini che mi fornisci e da una veloce ricerca su wikipedia mi sembra che il metodo della variabile ausiliaria non posso usarlo (o non riesco io ad applicarlo) ad un problema del tipo
siano $ X,Y,Z $ di distribuzione normale media zero e varianza $ 1 $, trovare la densità di $ Z=X^2+Y^2+Z^2 $
Se dovessi usare il metodo della funzione di ripartizione mi troverei a dover calcolare questo integrale
$ 1/(2pi)^(3/2)int_(X^2+Y^2+Z^2
con cui ho alcune difficoltà, c'è quindi modo di usare l'altro metodo? (oltre alla convoluzione che mi sembra ancora più improponibile)
in ogni caso chiederò aiuto in analisi per quell'integrale
ora dalle immagini che mi fornisci e da una veloce ricerca su wikipedia mi sembra che il metodo della variabile ausiliaria non posso usarlo (o non riesco io ad applicarlo) ad un problema del tipo
siano $ X,Y,Z $ di distribuzione normale media zero e varianza $ 1 $, trovare la densità di $ Z=X^2+Y^2+Z^2 $
Se dovessi usare il metodo della funzione di ripartizione mi troverei a dover calcolare questo integrale
$ 1/(2pi)^(3/2)int_(X^2+Y^2+Z^2
con cui ho alcune difficoltà, c'è quindi modo di usare l'altro metodo? (oltre alla convoluzione che mi sembra ancora più improponibile)
in ogni caso chiederò aiuto in analisi per quell'integrale
"moari":
con cui ho alcune difficoltà, c'è quindi modo di usare l'altro metodo?
esiste anche un altro metodo
si chiama "metodo della funzione generatrice dei momenti"...è il momento di usare quello
in pratica funziona così: se X è una normale $X^2$ si distribuisce come una $chi^2$
Questo dovresti saperlo calcolare con la consueta formula di trasformazione di variabile:
$f_(Y)(y)=sum_(i)f_(X)(g_(i)^(-1)(y))|d/(dx)g_(i)^(-1)(y)|$
A questo punto risolvi ricordando che la somma di variabili indipendenti si calcola facilmente con le proprietà della fgm, come ho già spiegato qui
viewtopic.php?f=34&t=151976&p=950697&hilit=funzione+generatrice+dei+momenti#p950690
la fgm di chi quadro, ovvero di particolari gamma, è nota....facendone il prodotto verrà sempre una gamma ma con diversi parametri...fai conto che sono all'estero, non ho con me alcun appunto....quindi controlla (ma vedrai che non mi sbaglio)
$ chi^2 $ so che è la distribuzione chi quadro ma null'altro, non era argomento del corso e questo mi lascia perplesso siccome credo che sia una distribuzione importante... in ogni caso la fgm nelle mie conoscenze è una sorta di trasformata di Laplace quindi se valgono le stesse priorità (?) anziché convolvere, trasformo e moltiplico... giusto?
ovviamente è più facile a dirsi che a farsi ma immagino che $ chi^2 $ sia una trasfomata notevole solo che non ho nessuna dimestichezza con questi concetti
mi trovo ad avere $ [(1-2t)^(-k/2)]^3 $ (fgm appena trovata su wiki) da antitrasformare... corretto? Come faccio ad antitrasfomare?
Visto ora il link... il mio ragionamento sembra essere corretto ma mi rimane sempre il dubbio su come antitrasformare (più che altro seguendo un algoritmo e non per via analitica)
ovviamente è più facile a dirsi che a farsi ma immagino che $ chi^2 $ sia una trasfomata notevole solo che non ho nessuna dimestichezza con questi concetti
mi trovo ad avere $ [(1-2t)^(-k/2)]^3 $ (fgm appena trovata su wiki) da antitrasformare... corretto? Come faccio ad antitrasfomare?
Visto ora il link... il mio ragionamento sembra essere corretto ma mi rimane sempre il dubbio su come antitrasformare (più che altro seguendo un algoritmo e non per via analitica)
Mi accorgo che purtroppo il nostro professore ha tralasciato la parte più interessante e probabilmente anche più utile
Sei stato gentilissimo ma avrei ancora bisogno del tuo aiuto, sono nuovo di questi argomenti...
a quale densità corrisponde quindi $ (1-2t)^(3/2k) $ ?
Sei stato gentilissimo ma avrei ancora bisogno del tuo aiuto, sono nuovo di questi argomenti...
a quale densità corrisponde quindi $ (1-2t)^(3/2k) $ ?
mi servirebbe solo capire il valore da sostituire a k
edit: chiaro adesso, k=1 la fgm la associo ad una $ Gamma (3/2,1/2) $
mi sembra corretto...
Tommik sei insostituibile grazie davvero
edit: chiaro adesso, k=1 la fgm la associo ad una $ Gamma (3/2,1/2) $
mi sembra corretto...
Tommik sei insostituibile grazie davvero
"moari":
Mi accorgo che purtroppo il nostro professore ha tralasciato la parte più interessante e probabilmente anche più utile
Sei stato gentilissimo ma avrei ancora bisogno del tuo aiuto, sono nuovo di questi argomenti...
a quale densità corrisponde quindi $ (1-2t)^(3/2k) $ ?
mmmhhhh....qualche cosa non va....dovresti trovarti con questa fgm
$ (1-2t)^(-3/2)$
in generale è una distribuzione gamma..ma in particolare è una chi quadro con 3 gradi di libertà
Ho innanzi tutto trovato su internet questo
che è una formula che potrei applicare e chiudere l'esercizio, ma per tentare di giustificarla ho pensato che una normale al quadrato è la somma da 1 a 1 per intenderci e quindi corrisponde ad un chi quadro di parametro 1. Trovato k il resto è banale e spero di non aver commesso errori
che è una formula che potrei applicare e chiudere l'esercizio, ma per tentare di giustificarla ho pensato che una normale al quadrato è la somma da 1 a 1 per intenderci e quindi corrisponde ad un chi quadro di parametro 1. Trovato k il resto è banale e spero di non aver commesso errori
pensa che il problema in realtà è un "non problema" perché ciò che l'esercizio ti sta facendo calcolare è proprio la DEFINIZIONE di distribuzione $chi^2$
essa infatti è definita così:
$chi^2=sum_(i=1)^(k)x_(i)^2$
dove $x_(i)$ sono variabili $N(0;1)$
ciò che hai trovato è proprio la definizione di $chi^2$....k non lo devi trovare, è il numero di "normali" che stai sommando...in questo caso 3
essa infatti è definita così:
$chi^2=sum_(i=1)^(k)x_(i)^2$
dove $x_(i)$ sono variabili $N(0;1)$
ciò che hai trovato è proprio la definizione di $chi^2$....k non lo devi trovare, è il numero di "normali" che stai sommando...in questo caso 3
si mi è chiaro, volevo solamente passare dalla fgm per la "prima volta"
mi chiedo perché tenere un corso di probabilità e statistica senza includere questi argomenti a questo punto
mi chiedo perché tenere un corso di probabilità e statistica senza includere questi argomenti a questo punto
per giustificare la formula basta la definizione di $chi^2$
oppure puoi divertirti a fare tutti i passaggi
1) trasformare $X$ in $X^2$....è molto semplice ed utile, ti ho anche messo la formula
2) tramite i teoremi sulla fgm fare $[(1-2t)^(-1/2)]^3=(1-2t)^(-3/2)$
e concludere che la distribuzione è una $chi^2$ con tre gdl
oppure puoi divertirti a fare tutti i passaggi
1) trasformare $X$ in $X^2$....è molto semplice ed utile, ti ho anche messo la formula
2) tramite i teoremi sulla fgm fare $[(1-2t)^(-1/2)]^3=(1-2t)^(-3/2)$
e concludere che la distribuzione è una $chi^2$ con tre gdl
si si, mi era sfuggito il meno davanti il k, per questo l'esponente mi risultava $ 3/2 $
e qui trovi passo passo come risolvere questo esercizio nei dettagli (è un esercizio simile...anzi ti può anche essere utile come allenamento)
viewtopic.php?f=34&t=151764&p=949709&hilit=funzione+generatrice+dei+momenti#p949782
viewtopic.php?f=34&t=151764&p=949709&hilit=funzione+generatrice+dei+momenti#p949782
Che dire, grazie... se fossi a Detroit farei un salto per delle ripetizioni... in ogni caso mi sembrava di aver letto Varese tempo fa nella tua località, di solito due volte al mese mi trovo a Milano per motivi personali, potrei prendere l'S5 e fare un salto 
a parte gli scherzi se non lo fai già dovresti prendere in considerazione l'idea di tenere delle lezioni private, mi sembra che per te sia una passione e credo che potrebbe darti soddisfazioni
a parte gli scherzi se non lo fai già dovresti prendere in considerazione l'idea di tenere delle lezioni private, mi sembra che per te sia una passione e credo che potrebbe darti soddisfazioni
Bene, buon viaggio
Io ho l'esame dopodomani, la mia preparazione non è perfetta come si evince... Spero di passarlo naturalmente e grazie per l'aiuto
Io ho l'esame dopodomani, la mia preparazione non è perfetta come si evince... Spero di passarlo naturalmente e grazie per l'aiuto
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