Densità e variabili aleatorie

[dovah01]

Buongiorno a tutti ragazzi
sto preparando l'esame di probabilità e l'ansia inizia a farsi sentire. Sono un po' di giorni che sto facendo delle simulazioni dello scritto e stamattina mi sono imbattuto in due esercizi sui quali mi sono bloccato ad un certo punto, ve li presento:
1)
Sia $ (X,Y) $ un vettore aleatorio con densità $ f(x,y)=2 \mathbb{I} \{x>0, y>0, x+y<1 \} $.
Si chiede di determinare le marginali di $ X $ e $ Y $.
Ora, io ho proceduto in questo modo:
La funzione indicatrice presente nella densità congiunta si può leggere anche in quest'altro modo:
$ \mathbb{I} \{x>0, y>0, x+y<1 \}=\mathbb{I} \{0 Quindi la densità marginale di $ X $ , che si ottiene integrando rispetto all'altra variabile, mi risulta essere:
$ 2\mathbb{I} \{0 A questo punto, però, per poter calcolare la marginale di $ Y $ ho scritto questa cosa, ma che secondo me è sbagliata perché non mi porta ad una funzione dipendente solo da $ y $:
$ f_Y(y)=\int_{-infty}^{infty} f_{X,Y}(x,y)dx = \int_{-infty}^{infty} 2\mathbb{I} \{0 che non so come risolvere e penso sia sbagliato perché nell'integrale comunque ho ancora una funzione che dipende da $ x $ .
Quindi vi chiedo: a questo punto, come dovrei procedere?

[Lo_zio_Tom]

come puoi notare la tua densità bivariata è definita su un triangolo e vale

$0
quindi è evidente che gli estremi di integrazione sono questi (basta "portare di là" x o y, rispettivamente)


$f(x)=int_(0)^(1-x)2 dy=(2-2x)I_((0;1))(x)$

$f(y)=int_(0)^(1-y)2 dx=(2-2y)I_((0;1))(y)$

Puoi anche guardare questo, sullo stesso genere ma più carino.

per favore: un esercizio un topic, altrimenti non si capisce più nulla. Per questa volta te li ho divisi io....

buona giornata

[dovah01]

Ah ho capito! Quindi posso "portare di là" prima una e poi l'altra variabile e vedere l'indicatrice da due punti di vista diversi a seconda di quello che sto facendo?
Ok scusa, grazie per avermelo fatto notare

[dovah01]

Ho capito! Siccome vi sono esattamente quelle condizioni sulla $ x $ e sulla $ y $, uso esattamente quelle condizioni (che mi definiscono il bordo del mio dominio) per poter integrare prima rispetto ad una variabile e poi rispetto ad un'altra! Comunque ho capito, grazie!