Densità discrete di variabili aleatorie indipendenti.

[fra891]

Siano X1, X2 due variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che X1 abbia una distribuzione binomiale di parametro $n = 2 $ $p = 1/2$ e che X2 abbia una distribuzione Poissoniana di parametri $\lambda$ = 2.
Z = min{X1;X2}.
Calcolare la densità discreta di Z....

Prendo il dominio delle due X1 [0,1,2] mentre per X2 [0,1,2,3...N]

Quindi min = X1 giusto ? Ora potreste spiegarmi bene come calcolare la densità discreta perchè continuo a sbagliare...

E poi vorrei sapere invece cosa fosse cambiato se ci fosse stato max al posto di min...Grazie

[cenzo1]

"fra89":Calcolare la densità discreta di Z....

E' la prima volta che sento il termine "densità discreta". Forse vuoi dire la funzione massa di probabilità?

"fra89":Prendo il dominio delle due X1 [0,1,2] mentre per X2 [0,1,2,3...N]

Per $X_1$ ok. Ma $X_2$ può assumere qualsiasi valore$>=0$ X2 [0,1,2,3,... $(infty)$]

"fra89":Quindi min = X1 giusto ?

Non sono daccordo. Se, ad esempio, $X_1=2$ e $X_2=1$ il minimo è evidentemente $1=X_2$

Io ragionerei così. Dato i valori che possono assumere le due variabili, è evidente che il minimo può essere uno tra i tre valori {0,1,2}.
$Z=min{X_1,X_2}$ con $Zin{0,1,2}$
Si ha $Z=0$ quando $X_1=0$ oppure quando $X_2=0$
$P(Z=0)=P(X_1=0 uuu X_2=0)=P(X_1=0)+P(X_2=0)-P(X_1=0 nnn X_2=0)=1/4+e^-2-1/4e^-2=1/4+3/4e^-2~=.3515

Si ha $Z=1$ quando $X_1=1$ e $X_2>=1$ oppure quando $X_1>1$ e $X_2=1$ (sono due casi incompatibili)
$P(Z=1)=P(X_1=1 nnn X_2>=1)+P(X_1>1 nnn X_2=1) =1/2*(1-e^-2)+1/4*2e^-2=1/2=.5

Si ha $Z=2$ quando $X_1=2$ e $X_2>=2$
$P(Z=2)=P(X_1=2 nnn X_2>=2)=1/4*(1-e^-2-2e^-2)=1/4-3/4e^-2~=.1485

Ovviamente ho tenuto conto della indipendenza delle due variabili e ho calcolato le varie probabilità che serivano in base ai parametri che hai indicato.

[fra891]

Prima di tutto grazie mille sei stato molto chiaro.
Volevo eliminare l'ultimo dubbio. Se invece devo trovare $Z=MAX{X_1,X_2}$ comunque i valori vanno cercati per tutti i valori che può assumere la poisson.
Siano ,$X_1$ $X_2 $ due variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che $X_1$ abbia una distribuzione bernoulliana di parametro $p_1 = 1/2$ e che $X_2 $abbia una distribuzione geometrica di parametri $p_2 = 1/3$
Sia $Z = max{X_1;X_2.}$.Calcolare la densità discreta di Z? (comunque questa domada la trovo su tutti questi esercizi)

Allora :
dominio di $X_1$ -> $[0,1]$
dominio di $X_2$ -> $[0,+oo]$

La soluzione è : $P(Z=K)= 1/3(1-1/3)^(k-1) $

Quindi per l'esercizio con la Poisson direi : $P(Z=K)= ((2^k)/(k!))*e^-2$

Per favore ditemi se sto ragionando in maniera corretta. Ciao e grazie ancora.

[dacanalr]

"fra89":
La soluzione è : $P(Z=K)= 1/3(1-1/3)^(k-1) $

Ciao, credo che questa soluzione non sia esatta. Infatti consideriamo la $P[Z=0]$ :

${Z=0} = {X1=0} nnn {X2=0}$

e tenedo conto che le due v.a. sono indipendenti si trova :

$P[Z=0] = P[X1=0]P[X2=0] = (1/2)(1/3)$

Credo che il modo di ragionare lo hai capito : nel caso del massimo devi considerare questi tre casi

$Z=0$
$Z=1$
$Z=k, k>1$

[fra891]

La soluzione $P(Z=K)= 1/3(1-1/3)^(k-1) $ mi viene data come soluzione dell'esercizio. Non ho capito tanto bene perchè devo considerare z=0 z=1 z=k ?
Invece il mio esercizio comsidera solo il caso in cui z=k. Comunque ti ringrazio già per avere considerato la mia domanda di prima.
Volevo chiedere un'altra cosa se ho due funzioni di densità marginali (di un vettore aleatorio assolutamente continuo e indipendente) data l'indipendenza per trovare la funzione di densità congiunta moltiplico le marginali vero?

es $f_X (x) = senx $ $f_Y (y) = cosy$ $f_(X,Y) (x,y) = sinx*cosy $ giusto???

[dacanalr]

Se ho capito bene vuoi la soluzione $P(Z=k)$ solo per k>1 ? Io pensavo tutti i casi possibili....

Se $k>1$ si può procedere così :

${Z=k}$ se e solo se $A = {X1=0} nnn {X2=k}$ o $B = {X1=1} nnn {X2=k}$ in quanto la bernoulliana può assumere solo i valori 0 e 1.

ora trovo l' unione dei due eventi :

${Z=k} = A uuu B = {X2=k}$ e la probabilità di questo vale $1/3 (1-1/3)^(k-1)$ come dice il libro.

Scusa ma non avevo capito esattamente la consegna : )

Per l' altra domanda, credo che il ragionamento sia esatta poichè la definizione di indipendenza è $p_{XY}(x,y} = p_{X}(x)p_{Y}(y)$

[fra891]

Non ti preocuppare grazie mille per l'aiuto !!!!!!!!! Ciao e grazie.