Densità di $Z=X+Y$, v.a. di densità congiunta $p$
Sto studiando la dimostrazione della "Densità di $X+Y$" dove $X$,$Y$ sono v.a. di densità congiunta $p$.
Questa è la proposizione da dimostrare:
Siano date le variabili aleatorie (discrete) $X$,$Y$ e $Z=X+Y$. Se $(X,Y)$ ha densità congiunta $p(x_i,y_k)$, allora $Z=X+Y$ ha densità $g$ data da $g(z)=sum_(i)p (x_i,z-x_i)$, dove $z=x_i+y_k$.
Nella dimostrazione si inizia in questo modo:
$g(z)=p(Z=z)$ e fin qui ci siamo. Poi prosegue $p(Z=z)=sum_(i)p(Z=z,X=x_i)$, dove la virgola tra $Z=z$ e $X=x_i$ sta ad indicare l'intersezione $(Z=z)nn(X=x_i)$.
Il problema è che non riesco a capire questo ultimo passaggio, cioè perché sia vera la relazione $p(Z=z)=sum_(i)p(Z=z,X=x_i)$.
Grazie a chi saprà aiutarmi!
Questa è la proposizione da dimostrare:
Siano date le variabili aleatorie (discrete) $X$,$Y$ e $Z=X+Y$. Se $(X,Y)$ ha densità congiunta $p(x_i,y_k)$, allora $Z=X+Y$ ha densità $g$ data da $g(z)=sum_(i)p (x_i,z-x_i)$, dove $z=x_i+y_k$.
Nella dimostrazione si inizia in questo modo:
$g(z)=p(Z=z)$ e fin qui ci siamo. Poi prosegue $p(Z=z)=sum_(i)p(Z=z,X=x_i)$, dove la virgola tra $Z=z$ e $X=x_i$ sta ad indicare l'intersezione $(Z=z)nn(X=x_i)$.
Il problema è che non riesco a capire questo ultimo passaggio, cioè perché sia vera la relazione $p(Z=z)=sum_(i)p(Z=z,X=x_i)$.
Grazie a chi saprà aiutarmi!
Risposte
Ola,
il passaggio è piuttosto elementare e si spiega con una delle proprietà base della probabilità:
dato lo spazio di probabilità $(\Omega,\mathcal{F},P)$, sia $\{A_{i}\}_{i=1}^{n}$ una successione di eventi due a due disgiunti, allora
$P(uuu_{i}^{n}A_{i})=\sum_{i}^{n}P(A_{i})$
nel tuo caso particolare hai un certo evento $B\in\mathcal{F}$, e inoltre la tua succesione di eventi due a due disgiunti è tale che $\Omega=uuu_{i}^{n}A_{i}$, allora:
$P(B)=P(Bnn\Omega)=P(Bnn(uuu_{i}^{n}A_{i}))=P(uuu_{i}^{n}(BnnA_{i}))=\sum_{i}^{n}P(BnnA_{i})$
Spero ti sia sufficientemente chiaro...(anzi forse ti ho detto anche troppo..
)
il passaggio è piuttosto elementare e si spiega con una delle proprietà base della probabilità:
dato lo spazio di probabilità $(\Omega,\mathcal{F},P)$, sia $\{A_{i}\}_{i=1}^{n}$ una successione di eventi due a due disgiunti, allora
$P(uuu_{i}^{n}A_{i})=\sum_{i}^{n}P(A_{i})$
nel tuo caso particolare hai un certo evento $B\in\mathcal{F}$, e inoltre la tua succesione di eventi due a due disgiunti è tale che $\Omega=uuu_{i}^{n}A_{i}$, allora:
$P(B)=P(Bnn\Omega)=P(Bnn(uuu_{i}^{n}A_{i}))=P(uuu_{i}^{n}(BnnA_{i}))=\sum_{i}^{n}P(BnnA_{i})$
Spero ti sia sufficientemente chiaro...(anzi forse ti ho detto anche troppo..
)
Quindi in $p(Z=z)=sum_(i)p(Z=z,X=x_i)$ è come se si aggiungesse "quasi inutilmente" (ma utile per dimostrare il teorema!) la $sum_(i)p(X=x_i)$ che dovrebbe valere 1 (?).
Perciò è cosi che fanno $p(Z=z)=p(Z=z)*1=p(Z=z)sum_(i)p(X=x_i)=sum_(i)p(Z=z,X=x_i)=...$.
E' corretto?
Grazie mille!!
Perciò è cosi che fanno $p(Z=z)=p(Z=z)*1=p(Z=z)sum_(i)p(X=x_i)=sum_(i)p(Z=z,X=x_i)=...$.
E' corretto?
Grazie mille!!
No, non funziona così.
Prima di tutto: $X$ è una v.a. discreta e le $x_i$ sono i valori che può assumere, quindi se sommi su $i$ le $p(X=x_{i})$ per forza ti deve venire uno. (es: pensa al lancio della moneta, la nostra v.a. $X$ assume valore $X=T$ o $X=C$, quindi se fai $p(X=T)+p(X=C)$ quanto deve risultare...ora generalizza...)
Poi: Riguarda cosa ti ho detto nel post precedente e vedila così $B\equiv(Z=z)$ e $A_i\equiv(X=x_i)$.
Quello che si fa non si fa "quasi inutilmente", il concetto è quello di scomporre un evento in eventi tra loro disgiunti proprio per utilizzare la proprietà che ti ho detto prima, la prima formula che scritto nel post sopra!
Quello che hai scritto tu è sbagliato in generale! E' vero solo se $(Z=z)$ e $(X=x_i)$ sono eventi indipendenti!..ma che non lo sono lo si vede già dal titolo della discussione, infatti $Z=X+Y$.
Più chiaro ora?
Prima di tutto: $X$ è una v.a. discreta e le $x_i$ sono i valori che può assumere, quindi se sommi su $i$ le $p(X=x_{i})$ per forza ti deve venire uno. (es: pensa al lancio della moneta, la nostra v.a. $X$ assume valore $X=T$ o $X=C$, quindi se fai $p(X=T)+p(X=C)$ quanto deve risultare...ora generalizza...)
Poi: Riguarda cosa ti ho detto nel post precedente e vedila così $B\equiv(Z=z)$ e $A_i\equiv(X=x_i)$.
Quello che si fa non si fa "quasi inutilmente", il concetto è quello di scomporre un evento in eventi tra loro disgiunti proprio per utilizzare la proprietà che ti ho detto prima, la prima formula che scritto nel post sopra!
Quello che hai scritto tu è sbagliato in generale! E' vero solo se $(Z=z)$ e $(X=x_i)$ sono eventi indipendenti!..ma che non lo sono lo si vede già dal titolo della discussione, infatti $Z=X+Y$.
Più chiaro ora?
"Jacknife":
Prima di tutto: $X$ è una v.a. discreta e le $x_i$ sono i valori che può assumere, quindi se sommi su $i$ le $p(X=x_{i})$ per forza ti deve venire uno. (es: pensa al lancio della moneta, la nostra v.a. $X$ assume valore $X=T$ o $X=C$, quindi se fai $p(X=T)+p(X=C)$ quanto deve risultare...ora generalizza...)
Per questo nessun problema.
"Jacknife":
Quello che hai scritto tu è sbagliato in generale! E' vero solo se $(Z=z)$ e $(X=x_i)$ sono eventi indipendenti!..ma che non lo sono lo si vede già dal titolo della discussione, infatti $Z=X+Y$.
Già, infatti ci pensavo al fatto che non fossero indipendenti, e che quindi quella relazione era quasi di sicuro falsa!
"Jacknife":
Poi: Riguarda cosa ti ho detto nel post precedente e vedila così $B\equiv(Z=z)$ e $A_i\equiv(X=x_i)$.
Quello che si fa non si fa "quasi inutilmente", il concetto è quello di scomporre un evento in eventi tra loro disgiunti proprio per utilizzare la proprietà che ti ho detto prima, la prima formula che scritto nel post sopra!
Allora, la proprietà $\Omega=uuu_{i}^{n}(X=x_{i})$ per eventi a due a due disgiunti mi è chiara e la conoscevo.
Chiamiamo, come dicevi, $B\equiv(Z=z)$ e $A_i\equiv(X=x_i)$.
Quello che non mi torna è:
"Prendiamo un evento $B\in\mathcal{F}$, cioè $(Z=z)\in\mathcal{F}$."
Dunque $P(B)=P(Z=z)=P((Z=z)nn\Omega)$.
Non riesco a comprendere la relazione tra $mathcal{F}$ e $(Z=z)$; $Omega$ non è l'insieme dello spazio di probabilità relativo ad $A_i\equiv(X=x_i)$? Se $mathcal{F}$ è la sua $sigma-$algebra perché $(Z=z)\in\mathcal{F}$? Una volta chiarito questo dubbio, mi risulta semplice e molto chiaro il seguito!
Hai perfettamente ragione, rileggendo non sono stato molto formale con le definizioni e si è fatto un po' di pasticcio..sorry
Comunque il discorso è questo: la v.a. $X$ è definita su $(\Omega_{X},\mathcal{F}_{X},P_{X})$ e $Y$ su $(\Omega_{Y},\mathcal{F}_{Y},P_{Y})$
$Z$ invece sta nello spazio di probabilità prodotto $(\Omega,\mathcal{F}, P)$, dove $\Omega=\Omega_{X}\times\Omega_{Y}$.
Ora rispetto al nostro problema le cose funzionano pensando all'evento $(X=x_i)$ nello spazio prodotto come l'evento $(X=x_i)\nn(Y\in\NN)$
...son un po' di corsa in caso mi spiego meglio dopo..ciao!
p.s. [modificato a posteriori c'era davvero qualche cavolata..]
Comunque il discorso è questo: la v.a. $X$ è definita su $(\Omega_{X},\mathcal{F}_{X},P_{X})$ e $Y$ su $(\Omega_{Y},\mathcal{F}_{Y},P_{Y})$
$Z$ invece sta nello spazio di probabilità prodotto $(\Omega,\mathcal{F}, P)$, dove $\Omega=\Omega_{X}\times\Omega_{Y}$.
Ora rispetto al nostro problema le cose funzionano pensando all'evento $(X=x_i)$ nello spazio prodotto come l'evento $(X=x_i)\nn(Y\in\NN)$
...son un po' di corsa in caso mi spiego meglio dopo..ciao!
p.s. [modificato a posteriori c'era davvero qualche cavolata..]
Ok! Se puoi chiarire un po' la questione mi farebbe piacere, così posso capire il motivo di quel passaggio!
Grazie ancora!
Grazie ancora!
secondo me deriva dal fatto che $P(Z=z)=P(Z=z,X \in \NN)$ e l'evento $(Z=z,X \in \NN)=\cup_{i=1}^{\infty}(Z=z,X=i)$
passando alla probabilità essendo eventi disgiunti sfrutti la sigma additività (mi pare si chiami così)
passando alla probabilità essendo eventi disgiunti sfrutti la sigma additività (mi pare si chiami così)
itpareid ti ha risposto in due righe alla domanda in modo più chiaro di quanto non abbia fatto io in 3 post... 
per rispondere ( speriamo ) a quello che chiedevi sulle sigma algebre diverse:
Lasciamo da parte le cose troppo astratte (quindi puoi pure dimenticare il mio terzo post), dato che siamo nel discreto lo spazio di probabilità su cui stiamo lavorando, per tutte e tre le v.a., è $(\NN,\mathcal{P}(\NN),\cdot)$ quindi le sigma algebre coincidono. ( il $\cdot$ sta ad indicare che la misura di probabilità deve essere riferita al singolo caso.)
Ciao!
per rispondere ( speriamo
) a quello che chiedevi sulle sigma algebre diverse:Lasciamo da parte le cose troppo astratte (quindi puoi pure dimenticare il mio terzo post), dato che siamo nel discreto lo spazio di probabilità su cui stiamo lavorando, per tutte e tre le v.a., è $(\NN,\mathcal{P}(\NN),\cdot)$ quindi le sigma algebre coincidono. ( il $\cdot$ sta ad indicare che la misura di probabilità deve essere riferita al singolo caso.)
Ciao!
Grazie a tutti! Mi sembra una spiegazione abbastanza chiara ed esaustiva!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo