Densità di probabilità
vi do il testo di un esercizietto che non riesco a risolvere:
Due variabili aleatorie X e Y indipendenti sono distribuite uniformemente in [0,1] ,allora la variabile aleatoria Z=X+Y ha densità
f(z)=z se z apparitene a [1,2]
f(z)=0 se z>2
f(z)=1+z^2 se z appartiene a [1,2]
f(z)=-2 se z appartiene a [-1,1]
allora ovviamente non può essere l'ultima perchè per definizione di densità deve essere maggiore uguale di 0...ma le altre? dal fatto che le X e Y sono distribuite uniformemente e sono indipendenti ottengo che la densità congiunta dovrebbe essere 1 giusto?ma poi non so che pesci pigliare...vi ringrazio x ogni suggerimento
Simone B.
Due variabili aleatorie X e Y indipendenti sono distribuite uniformemente in [0,1] ,allora la variabile aleatoria Z=X+Y ha densità
f(z)=z se z apparitene a [1,2]
f(z)=0 se z>2
f(z)=1+z^2 se z appartiene a [1,2]
f(z)=-2 se z appartiene a [-1,1]
allora ovviamente non può essere l'ultima perchè per definizione di densità deve essere maggiore uguale di 0...ma le altre? dal fatto che le X e Y sono distribuite uniformemente e sono indipendenti ottengo che la densità congiunta dovrebbe essere 1 giusto?ma poi non so che pesci pigliare...vi ringrazio x ogni suggerimento
Simone B.
Risposte
L'unica risposta corretta è la seconda. I valori possibili di Z sono evidentemente [0,2]. La ddp di Z è triangolare (convoluzione delle ddp di X e Y).
ti ringrazio ho visto sul libro di testo che parlava di convoluzione in un esercizio simile a questo e persino andando dal mio prof mi ha disegnato il triangolino liberandosi di me in 5 minuti..però io vorrei capire come viene fuori sto triangolino..uff deve essere una cosa semplice ma non riesco proprio a tirarlo fuori analiticamente..
Parti da questo esempio semplice: X e Y siano il risultato del lancio di due dadi diversi; quindi X e Y avranno ddp discrete uniformi. Ora considera Z=X+Y, ovvero la somma di due dadi. Prova a scrivere per esteso la probabilità di ogni risultato possibile per Z; ti accorgerai che la ddp è triangolare. Da questo esempio prova a dedurre la formula generale di $f_Z(z)$, dovresti trovare la somma di convoluzione (v.a. discreta).
Non so niente o quasi di queste cose, a parte le poche nozioni di laboratorio1 
... Intuitivamente io farei così:
Ad x fissato si conosce la distribuzione di x+y, basta traslare questa di x. Se ora mettiamo in un grafico (t,u,v) in tre step:
- nel piano di coordinata $x_0$ sull'asse t disegniamo la distribuzione di $x_0+y$. Se il valore $x_0$ non è possibile che esca mettiamo 0;
- ora bisogna pesare in qualche modo la x con la probabilità di ottenerla, quindi moltiplichiamo tutti i valori segnati per $p(k)$, ove con $k$ intendo il valore della loro coordinata lungo $t$ e $p(x)$ è la funzione di distribuzione della $x$;
- si normalizza il tutto di modo che il volume sotteso sia 1;
Fatta questa costruzione nelle mie intenzioni si dovrebbe avere che il volume tra i semipiani $u=m$ e $u=m+dm$ deve dare la probabilità che la funzione somma sia compresa tra $m$ ed $m+dm$... da cui si ricava la funzione di distribuzione...
nel caso di in_me_I_trust mi pare funzionare... anche se ovviamente molti punti della costruzione non mi convincono...
secondo voi tiene senso?????
... Intuitivamente io farei così:Ad x fissato si conosce la distribuzione di x+y, basta traslare questa di x. Se ora mettiamo in un grafico (t,u,v) in tre step:
- nel piano di coordinata $x_0$ sull'asse t disegniamo la distribuzione di $x_0+y$. Se il valore $x_0$ non è possibile che esca mettiamo 0;
- ora bisogna pesare in qualche modo la x con la probabilità di ottenerla, quindi moltiplichiamo tutti i valori segnati per $p(k)$, ove con $k$ intendo il valore della loro coordinata lungo $t$ e $p(x)$ è la funzione di distribuzione della $x$;
- si normalizza il tutto di modo che il volume sotteso sia 1;
Fatta questa costruzione nelle mie intenzioni si dovrebbe avere che il volume tra i semipiani $u=m$ e $u=m+dm$ deve dare la probabilità che la funzione somma sia compresa tra $m$ ed $m+dm$... da cui si ricava la funzione di distribuzione...
nel caso di in_me_I_trust mi pare funzionare... anche se ovviamente molti punti della costruzione non mi convincono...
secondo voi tiene senso?????
Finisco il lavoro generalizzando la questione, visto che ho appena controllato sulla rete che il risultato viene... solo non mi ero accorto che la costante di normalizzazione è sempre 1.
per quanto detto sopra, se chiamo $f$ e $g$ le funzioni di distribuzione della x e della y, mentre z quella della variabile somma si ha (eguaglio il volume che dico nel post precedente al risultato):
$int_0^m int_(-infty)^(+infty) f(x)g(y-x)dydx=int_0^m z(k)dk$
ove nell'integrale doppio gli estremi iniziali sono riferiti prima alla y dopo alla x... (non ho fatto integrali doppi ad analisi, quindi potrebbe essere errato, cmq...).
Se considero la derivata rispetto ad $m$ delle funzioni sopra ho:
$z(m)=int_(-infty)^(+infty) f(x)g(m-x)dx$
che coincide perlomeno con una formula che ho trovato sulla rete...
non so se tutto questo possa servire a qualcuno, cmq...
per quanto detto sopra, se chiamo $f$ e $g$ le funzioni di distribuzione della x e della y, mentre z quella della variabile somma si ha (eguaglio il volume che dico nel post precedente al risultato):
$int_0^m int_(-infty)^(+infty) f(x)g(y-x)dydx=int_0^m z(k)dk$
ove nell'integrale doppio gli estremi iniziali sono riferiti prima alla y dopo alla x... (non ho fatto integrali doppi ad analisi, quindi potrebbe essere errato, cmq...).
Se considero la derivata rispetto ad $m$ delle funzioni sopra ho:
$z(m)=int_(-infty)^(+infty) f(x)g(m-x)dx$
che coincide perlomeno con una formula che ho trovato sulla rete...
non so se tutto questo possa servire a qualcuno, cmq...
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