Densità della somma di variabili aleatorie discrete/continue
Ciao a tutti! Mi trovo a dover calcolare la funzione di densità della somma tra una variabile aleatoria discreta e una continua tra loro indipendenti. Supponiamo di avere due variabili aleatorie $X_1,X_2$ discrete e indipendenti, con densità $\gamma_1 ,\gamma_2$ su $\R^d$ .
Allora avrò che $\gamma_{X_1+X_2}(x)=\sum_{y \in \R^d} \gamma_1(y)\gamma_2(x-y)$, dove la sommatoria è da intendersi nel senso di "somma infinita", quindi trattabile nel seguente modo:
$\sum_{y \in \R^d} \gamma_1(y)\gamma_2(x-y)=\sum_{y \in E_{\gamma}} \gamma_1(y)\gamma_2(x-y)=\sum_{n=1}^\infty \gamma_1(y_n)\gamma_2(x-y_n)$
dove $E_{\gamma}$ è il dominio effettivo di $\gamma$ che definiamo come $E_{\gamma}={x \in \R^d | \gamma(x)>0}$.
Posso utilizzare lo stesso procedimento con $X_1$ discreta e $X_2$ continua ?
Nello specifico devo calcolare la densità della somma tra un processo di Poisson e un processo di Wiener.
Per il processo di Poisson p(t) ho che la densità di transizione dallo stato 0 allo stato k è una distribuzione di Poisson $\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}$.
Mentre per Wiener w(t) ho una normale $(2\pi t)^{-d/2} exp(-\frac{|x|^2}{2t})$.
Quindi applicando la convoluzione otterrei
$\gamma_{p+w}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}(2\pi t)^{-d/2} exp(-\frac{|x-k|^2}{2t})$.
Sono leciti questi passaggi? Grazie in anticipo.
Allora avrò che $\gamma_{X_1+X_2}(x)=\sum_{y \in \R^d} \gamma_1(y)\gamma_2(x-y)$, dove la sommatoria è da intendersi nel senso di "somma infinita", quindi trattabile nel seguente modo:
$\sum_{y \in \R^d} \gamma_1(y)\gamma_2(x-y)=\sum_{y \in E_{\gamma}} \gamma_1(y)\gamma_2(x-y)=\sum_{n=1}^\infty \gamma_1(y_n)\gamma_2(x-y_n)$
dove $E_{\gamma}$ è il dominio effettivo di $\gamma$ che definiamo come $E_{\gamma}={x \in \R^d | \gamma(x)>0}$.
Posso utilizzare lo stesso procedimento con $X_1$ discreta e $X_2$ continua ?
Nello specifico devo calcolare la densità della somma tra un processo di Poisson e un processo di Wiener.
Per il processo di Poisson p(t) ho che la densità di transizione dallo stato 0 allo stato k è una distribuzione di Poisson $\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}$.
Mentre per Wiener w(t) ho una normale $(2\pi t)^{-d/2} exp(-\frac{|x|^2}{2t})$.
Quindi applicando la convoluzione otterrei
$\gamma_{p+w}(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\lambda t)^k}{k!}e^{-\lambda t}(2\pi t)^{-d/2} exp(-\frac{|x-k|^2}{2t})$.
Sono leciti questi passaggi? Grazie in anticipo.
Risposte
Si è corretto.
Puoi vederlo come una somma tra due v.a. continue dove la pdf della Poissoniana è fatta a impulsi di Dirac centrati in $0,1,\ldots$ e di ampiezza $P[1],P[2],\ldots$.
Convolvere una distribuzione con un impulso significa molitplicare la funzione per l'ampiezza dell'impulso e shiftarla intorno all'impulso, che è lo stesso del tuo risultato finale.
Puoi vederlo come una somma tra due v.a. continue dove la pdf della Poissoniana è fatta a impulsi di Dirac centrati in $0,1,\ldots$ e di ampiezza $P[1],P[2],\ldots$.
Convolvere una distribuzione con un impulso significa molitplicare la funzione per l'ampiezza dell'impulso e shiftarla intorno all'impulso, che è lo stesso del tuo risultato finale.
Ok intanto grazie mille per la risposta. non so se ho capito bene, dovrei fare così
$P(p(t)=y)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k !}\delta_k(y)$
e applicare la convoluzione (nel senso di convoluzione tra due pdf continue) quindi:
$\gamma_{p+w}=\int\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k !}\delta_k(y)\gamma_2(x-y)dy$
dove $\gamma_2$ è sempre la densità del processo di Wiener.
Poi:
$=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k !}\int \delta_k(y)\gamma_2(x-y)dy=
\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k !}\gamma_2(x-k)$
Giusto?
$P(p(t)=y)=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k !}\delta_k(y)$
e applicare la convoluzione (nel senso di convoluzione tra due pdf continue) quindi:
$\gamma_{p+w}=\int\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k !}\delta_k(y)\gamma_2(x-y)dy$
dove $\gamma_2$ è sempre la densità del processo di Wiener.
Poi:
$=\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k !}\int \delta_k(y)\gamma_2(x-y)dy=
\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k !}\gamma_2(x-k)$
Giusto?
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