Densità della differenza con massimo e minimo

[mobley]

Altra traccia d'esame (come al solito senza soluzioni):

Siano $(X,Y)$ i.i.d. $~ Exp(\lambda)$.
$a)$ Determinare la distribuzione della v.a. $Z=X/(X+Y)$.
$b)$ Determinare la distribuzione della v.a. $W=U-V$, con $U=max(X,Y)$ e $V=min(X,Y)$.
$c)$ Stabilire se $U$ e $V$ sono indipendenti.
$d)$ Si sarebbe potuto rispondere al punto $c)$ senza fare calcoli?

$a)$ Penso sia corretto:

$F_Z(z)=\mathbb(P)(Z<=z)=\mathbb(P)(X/(X+Y)<=z)=\int_(x/(x+y)<=z)f(x,y)dxdy=\int_(0)^(+\infty)[\int_((1-z)/zx)^(+\infty)\lambda^2e^(-\lambda(x+y))dy]dx=z$

$rArr Z~U(0,1)$

$b)$ Qui ho difficoltà a continuare. Ho prima calcolato (come allenamento) ripartizione e densità sia di $U$ che di $V$, rispettivamente:

$F_U(u)=(1-e^(-\lambdau))^2rArrf_U(u)=2\lambdae^(-\lambdau)(1-e^(-\lambdau))$ (che assomiglia ad una Weibull ma non lo è)

$F_V(v)=1-e^(-2\lambdav)rArrf_V(v)=2\lambdae^(-2\lambdav)rArr V~Exp(2\lambda)$

Poi ho provato a calcolare la distribuzione di $W$ di nuovo tramite ripartizione…

$F_W(w)=\mathbb(P)(W<=w)=\mathbb(P)(U-V<=w)$

…separando i due casi:
- se $Y min(X,Y)=YrArr max(X,Y)=X rArr U-V=X-Y$;
- se $Y>X-> min(X,Y)=XrArr max(X,Y)=Y rArr U-V=Y-X$;

$rArr \mathbb(P)(U-V<=w)=\mathbb(P)(X-Y<=w|YX)=\mathbb(P)(Y<=X-w|YX)$

Ma qui mi blocco e non so come andare avanti

[Lo_zio_Tom]

a) non l'ho guardato ma è identico a tanti altri che hai fatto, l'integrale doppio è impostato correttamente ergo sarà giusto

b) basta osservare che, avendo due sole variabili,

$Max(X,Y)-min(X,Y)=|X-Y|$

Come calcolare la distribuzione della differenza in modulo te l'ho già mostrato diverse volte.....

c) no

d) ovviamente sì [infatti ho risposto al punto c) senza alcun conto]

[mobley]

"tommik":l'integrale doppio è impostato correttamente ergo sarà giusto

"tommik":basta osservare che, avendo due sole variabili, $Max(X,Y)-min(X,Y)=|X-Y|$. Come calcolare la distribuzione della differenza in modulo te l'ho già mostrato diverse volte.....

Si, me l'hai mostrato diverse volte ma 'sto maledetto modulo mi mette in crisi ogni volta. Provo ad andare avanti e vedo cosa ne viene fuori. Inserirò il tutto tra un po'.
[ot]Potresti dirmi se le densità di $U$ e $V$ sono corrette? Anche se le ho calcolate come allenamento e non servono ai fini dello svolgimento dell'esercizio…[/ot]

"tommik":c) no d) ovviamente sì [infatti ho risposto al punto c) senza alcun conto]

Qui ti chiederei una spiegazione, per favore. E' chiaro che $U$ e $V$ sono correlate tramite $X$ e $Y$, ma come hai fatto a dirlo senza separare i due casi come ho fatto io?

[Lo_zio_Tom]

"mobley":
Qui ti chiederei una spiegazione, per favore. E' chiaro che $U$ e $V$ sono correlate tramite $X$ e $Y$, ma come hai fatto a dirlo senza separare i due casi come ho fatto io?

anche questo mi pare di avertelo già detto più volte....anyway,

Condizione NECESSARIA per l'indipendenza è che il dominio sia rettangolare. Nel tuo caso hai

$0<=v<=u
che è un triangolo (infinito)

[mobley]

"tommik":Come calcolare la distribuzione della differenza in modulo te l'ho già mostrato diverse volte

Beh, ho usato la definizione di modulo:

$\mathbb(P)(|X-Y|<=w)=\mathbb(P)(-w<=X-Y<=w)=2[\mathbb(P)(X-Y<=w)-\mathbb(P)(X-Y<=0)]=2[\mathbb(P)(Y>=X-w)-\mathbb(P)(Y>=X)]=2[\int_(0)^(+\infty)[\int_(x-w)^(+\infty)…dy]dx-\int_(0)^(+\infty)[\int_(x)^(+\infty)…dy]dx]$

Ma in questo modo ottengo $e^(\lambdaw)-1$ (quando molto probabilmente dovrei ottenere il contrario, cioè che $W$ si distribuisce come un'esponenziale di qualche tipo). Sicuramente saranno sbagliati i soliti estremi di integrazione anche se non vedo l'errore: $X$ è illimitata superiormente e $Y$ (anch'essa illimitata) dev'essere rispettivamente maggiore di $X-w$ e $X$, quindi…

[mobley]

Credo di aver risolto. Ottengo $W~ Exp(\lambda)$, quindi per la definizione di indipendenza le due variabili non sono indipendenti. Ma per il punto d), siccome il dominio è $0<=V
In ogni caso avrei una domanda @tommik sul "dominio rettangolare".

Potresti elencarmi i casi in cui, di norma, è solito imbattersi in un dominio di questo tipo?
1) entrambe variabili continue uniformi
2) ...