Densità congiunte

[MrMojoRisin891]

Buongiorno, ho due variabili aleatorie $X$ e $Y$ indipendenti e uniformi su $(0,1)$. Mi viene chiesto di trovare la legge di $Z=XY$

Mi cerco quindi la legge del vettore aleatorio $(X,Y)$, che è pari al reciproco dell'area del quadrato di lati 1 (cioè 1 all'interno del quadrato) e poi applico
$int_{xy<=t} f(x,y)dxdy$
Non so se sto ragionando correttamente, comunque qui mi sono bloccato perché non sto riuscendo a capire il dominio d'integrazione (che sarebbe l'area dell'iperbole nel quadrato), un aiuto per favore...

[Lo_zio_Tom]

quesito banalissimo....dato che la congiunta è costante, l'integrale non serve; quell'integrale infatti rappresenta il volume di un solido con altezza costante (e addirittura pari a uno) -> il volume coincide con l'area della base del solido (ovvero con l'area del dominio di integrazione)




$F_(Z)(z)=P(Z<=z)=P(XY<=z)=P(Y<=z/x)=z+int_(z)^(1)z/xdx=z-zlogz$

fine dell'esercizio


se invece vuoi anche la densità (ma non è richiesto) basta fare la derivata della F ottenendo

$f(z)=-logzI_((0;1))(z)$




è sottinteso che, per esercizio, puoi tranquillamente impostare l'integrale doppio (che hai correttamente impostato)....e non dovresti avere problemi nel definire il dominio di integrazione...in caso contrario devi rivederti un po' gli integrali doppi....

puoi fare ad esempio così:

$int_(0)^(z)dxint_(0)^(1)dy+int_(z)^(1)dxint_(0)^(z/x)dy$

con quel tipo di dominio non è possibile integrare senza partizionarlo.


Prova ora a fare lo stesso esercizio calcolando $Z=X+Y$ con questo metodo, senza usare la convoluzione...così, giusto per impratichirti....sai già che devi trovare una distribuzione triangolare...

in questa stanza troverai decine e decine di esercizi che ho personalmente risolto e commentato....dico decine ma secondo me arriviamo ad un centinaio....

[MrMojoRisin891]

se ho capito bene, per rispondere al tuo quesito devo trovarmi
$int_0^1int_0^(z-x)f(x,y)dxdy$
giusto?

[Lo_zio_Tom]

fai conto che devi trovarti una distribuzione triangolare.....il problema è che devi stare dentro il quadrato.....

fai il disegno del quadrato e della retta.....fai muovere la retta dentro il quadrato e vedi che succede al dominio



Ovviamente $z in (0;2)$

per $0
per $1
derivando ottieni proprio che la densità è

$f(z)=(1-|1-z|)I_([0;2])(z)$

ovvero una distribuzione triangolare, come previsto (te l'ho scritta in forma compatta)


fanne un po' e vedrai che tutto ti sembrerà molto semplice

es:

$Z=|X-Y|$

$Z=X/(X+Y)$

$Z=X/Y$

ecc ecc

[MrMojoRisin891]

grazie, meglio di così non potevi spiegare.
la distribuzione triangolare non ce l'ho nel programma, la densità scritta così va bene?
$f(z)= {(z, text{ se } 0

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[Lo_zio_Tom]

sì ok. Ci devi mettere un uguale da qualche parte perché è continua...e scrivere che vale $0$ altrove

$f_(Z)(z)-={{: ( z , ;0
sì va beh.....da qualche parte ma non a caso....se le variabili abbiamo visto che sono definite in $(0;1)$ non puoi mettere l'uguale su 2.......in genere si preferisce definire la funzione continua da destra....ma non è un obbligo

[MrMojoRisin891]

corretto.
concettualmente, perché l'uguale è necessario? nel caso continuo l'esclusione di un insieme di misura nulla non dovrebbe essere ininfluente?
corretto pt.2
(è per evitare la discontinuità?)

[Lo_zio_Tom]

"MrMojoRisin89":corretto.
concettualmente, perché l'uguale è necessario? nel caso continuo l'esclusione di un insieme di misura nulla non dovrebbe essere ininfluente?

per completezza di notazione (e giustamente evitare la discontinuità)...anche se in realtà non cambia nulla, è vero.

Oppure la scrivi come ho fatto io in maniera compatta e ti eviti il problema...

[MrMojoRisin891]

grazie ancora, mi hai chiarito molti dubbi, al prossimo esercizio