Densità congiunta + evoluzioni
Ciao a tutti, come ogni settimana ecco un esercizio dal quale non riesco a uscire:
a) Siano X ed Y due variabili aleatorie indipendenti con densità congiunta $f_(X,Y)$. Mostrare che
$f_(X, X/Y) (v, w) = f_(X, Y) (v, v/w) |v/w^2|$
Concludere che
$f_(X/Y) (w) = \int f_(X, Y) (v, v/w) |v/w^2|dv
b) Determinare $f_(X/Y)$ dans le cas où X, Y seguono la legge $Exp(1)$. Dedurne $E(X) =E(Y)=1$ e $E(X/Y)= infty$
Per la parte a) non ho trovato nessuna buona idea, sto cercando di arrivare da qualche parte usando il fatto che:
$f_(X, X/Y) (v, w) = (del F_(X, X/Y))/(del v del w)
Poi, $F_(X, X/Y)= P( (X, X/Y) in I_1 x I_2)
e cercherei di eguagliarla alla probabilità di una funzione di X, Y, magari poi riesco a fastrocchiare con qualche inversione o cambiamento di variabile...
a) Siano X ed Y due variabili aleatorie indipendenti con densità congiunta $f_(X,Y)$. Mostrare che
$f_(X, X/Y) (v, w) = f_(X, Y) (v, v/w) |v/w^2|$
Concludere che
$f_(X/Y) (w) = \int f_(X, Y) (v, v/w) |v/w^2|dv
b) Determinare $f_(X/Y)$ dans le cas où X, Y seguono la legge $Exp(1)$. Dedurne $E(X) =E(Y)=1$ e $E(X/Y)= infty$
Per la parte a) non ho trovato nessuna buona idea, sto cercando di arrivare da qualche parte usando il fatto che:
$f_(X, X/Y) (v, w) = (del F_(X, X/Y))/(del v del w)
Poi, $F_(X, X/Y)= P( (X, X/Y) in I_1 x I_2)
e cercherei di eguagliarla alla probabilità di una funzione di X, Y, magari poi riesco a fastrocchiare con qualche inversione o cambiamento di variabile...
Risposte
Sono riuscita a mostrare la prima parte dell' a).
La seconda parte dell' a) basta sfruttare la def di densità marginale?
La seconda parte dell' a) basta sfruttare la def di densità marginale?
Allora ti scrivo l'intero procedimento.
Innanzitutto è giusta l'intuizione di partire dalla distribuzione congiunta di probabilità $F_(x,x/y)(v,w)$.
Dunque, sfruttando l'indipendenza delle v.a. in esame avremo:
$F_(x,x/y)(v,w)=P[x
$ (del^2 F_(x,x/y)(v,w))/(del v del w)=f_x(v)*f_y(v/w)*v/w^2=f_(x,y)(v,v/w)*v/w^2$ come vuole il risulatato.
Ora per trovare la densita della v.a. $x/y$ si applica (come dicevi tu) la proprietà delle marginali, ottenendo il risultato voluto.
Nel caso le due v.a. sono $exp(1)$ abbiamo le due densità, rispettivamente:
$f_x(v)=e^-v \text{con } v>=0$
$f_y(w)=e^-w \text{con } w>=0$.
Per determinare $f_(x/y)(w)$ applichiamo il risultato trovato nel punto a), cioè:
$f_(x/y)(w)=int_(0)^(+oo) e^(-v)*e^(-v/w)*v/w^2 dv=1/w^2int_0^(+oo)v e^(-v((w+1)/w))$. L'integrale non è altro che il valore atteso di una v.a $exp((w+1)/w)$ quindi il risultato sarà:
$f_(x/y)(w)=1/(w^2+w)$.
Calcolando il valore atteso $E[X/Y]=int_0^(+oo) 1/(w^2+w) dw$ la funzione integranda è asintotica a $1/x$ quindi non è integrabile all'infinito. L'integrale divergerà come dev'essere dalla soluzione.
Innanzitutto è giusta l'intuizione di partire dalla distribuzione congiunta di probabilità $F_(x,x/y)(v,w)$.
Dunque, sfruttando l'indipendenza delle v.a. in esame avremo:
$F_(x,x/y)(v,w)=P[x
$ (del^2 F_(x,x/y)(v,w))/(del v del w)=f_x(v)*f_y(v/w)*v/w^2=f_(x,y)(v,v/w)*v/w^2$ come vuole il risulatato.
Ora per trovare la densita della v.a. $x/y$ si applica (come dicevi tu) la proprietà delle marginali, ottenendo il risultato voluto.
Nel caso le due v.a. sono $exp(1)$ abbiamo le due densità, rispettivamente:
$f_x(v)=e^-v \text{con } v>=0$
$f_y(w)=e^-w \text{con } w>=0$.
Per determinare $f_(x/y)(w)$ applichiamo il risultato trovato nel punto a), cioè:
$f_(x/y)(w)=int_(0)^(+oo) e^(-v)*e^(-v/w)*v/w^2 dv=1/w^2int_0^(+oo)v e^(-v((w+1)/w))$. L'integrale non è altro che il valore atteso di una v.a $exp((w+1)/w)$ quindi il risultato sarà:
$f_(x/y)(w)=1/(w^2+w)$.
Calcolando il valore atteso $E[X/Y]=int_0^(+oo) 1/(w^2+w) dw$ la funzione integranda è asintotica a $1/x$ quindi non è integrabile all'infinito. L'integrale divergerà come dev'essere dalla soluzione.
Grazie! forse ho trovato un'altra strada per la prima parte, però la posto questo pomeriggio che ho un po' più di tempo!
Rieccomi, dunque:
io ho pensato che magari non serve sfruttare l'indipendenza quando abbiamo la densità congiunta..prova a vedere se fila questa cosa:
$F_(X, X/Y)=P((X, X/Y) \in I_1xI_2) =P((X, Y) \in T^(-1)(I_1xI_2)) $ dove $T:I_1xI_2 ->I_1xI_2, T(X, Y)=(X, X/Y)$ funzione molto carina perché $T^(-1) = T$
$= \int_(T(I_1xI_2)) f_(XY)(v, w) dv dw
cambio variabili $= \int_(I_1xI_2) f_(XY)(v, v/w) |det T' (v, w)| dv dw
$=\int_(I_1xI_2) f_(XY)(v, v/w) |v/w^2| dv dw
..ora però a concludere...
vorrei che ci fossero le condizioni per concludere che
$f_(X X/Y) (v, w) = F' _(X, X/Y) = f_(XY) (v, v/w) |v/w^2|$
...ma...posso farlo?
io ho pensato che magari non serve sfruttare l'indipendenza quando abbiamo la densità congiunta..prova a vedere se fila questa cosa:
$F_(X, X/Y)=P((X, X/Y) \in I_1xI_2) =P((X, Y) \in T^(-1)(I_1xI_2)) $ dove $T:I_1xI_2 ->I_1xI_2, T(X, Y)=(X, X/Y)$ funzione molto carina perché $T^(-1) = T$
$= \int_(T(I_1xI_2)) f_(XY)(v, w) dv dw
cambio variabili $= \int_(I_1xI_2) f_(XY)(v, v/w) |det T' (v, w)| dv dw
$=\int_(I_1xI_2) f_(XY)(v, v/w) |v/w^2| dv dw
..ora però a concludere...
vorrei che ci fossero le condizioni per concludere che
$f_(X X/Y) (v, w) = F' _(X, X/Y) = f_(XY) (v, v/w) |v/w^2|$
...ma...posso farlo?
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