Densità congiunta di variabili dipendenti

[mbistato]

Ciao a tutti,
siano date le variabili aleatorie $X$ e $P$ indipendenti, Gaussiane con media e deviazione standard rispettivamente
$\mu_x=100,\ \sigma_x=20,\ \mu_p=1,\ \sigma_p=0.2$. Definita $Y=X\cdot P$ ricavare la densità congiunta di $X$ e $Y$.

Devo ricavare la $f_{XY}(x,y)$. Conosco la densità di $X$ che è una normale e posso ricavarmi la densità di $Y=X\cdot P$, ma non essendo $X$ e $Y$ indipendenti come posso trovare la densità congiunta $f_{XY}(x,y)$?

[feddy]

Con il teorema del cambio di variabile dovresti riuscirci.
La trasformazione che ti interessa è $\phi(X,P)=(X,XP)$. Come hai scritto te dall'indipendenza segue che puoi trovare immediatamente la congiunta moltiplicando $f_X$ e $f_P$.

Ti serve l'inversa di questa funzione, che si trova in due passaggi, e il determinante dello Jacobiano di $\phi^(-1)$.

Una volta trovato tutto, applichi il teorema che ti dice che $f_(X,Y)=f_(X,P)(phi^(-1)(u,v))*|det(Jac(phi^(-1)))|$


se vuoi un po' di materiale per esercitarti io ho guardato qui recentemente (avevo il libro di questo professore )

In particolare per il tuo esercizio ti conviene guardare l'esercizio 3 di questo tutorato

@edit: come mi ha fatto notare tommik il determinante va col modulo (il motivo (intuitivo) è quello che stiamo facendo un normale cambio di variabile per integrali multipli, nella qual formula il determinante jacobiano, indice del fattore di dilatazione delle aree, va in modulo)

[mbistato]

Chiaro! Mille grazie!

[feddy]

prego!

[mbistato]

Scusate ancora ma mi sono reso conto di avere ancora qualche dubbio riguardo l'impostazione di questo esercizio:
Siano $X$ e $Y$ due variabili indipendenti con distribuzione uniforme in $(0,a)$. Devo calcolare la funzione di densità della trasformata $Z=\frac{Y}{X}$.
In base alla procedura sopra descritta ho posto:
$\phi(x,y)=(\frac{1}{x},y)$ e

$$\begin{cases}
u=\frac{1}{x}\\
v=y\end{cases}$$

da cui

$$\begin{cases}
x=\frac{1}{u}\\
y=v\end{cases}$$

Calcolo lo Jacobiano della trasformazione: $det(J(u,v))=-\frac{1}{u^2}$

Inoltre, dall'indipendenza di $X$ e $Y$ si ha: $f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{a}*\frac{1}{a}=\frac{1}{a^2}$

e dal teorema mi viene fuori:

$f_Z=f_{X,Y}(\frac{1}{u},v)*|det(J)|=\frac{1}{a^2u^2}$

Ma adesso, per trovare la funzione di ripartizione di $Z$ non capisco rispetto a quale variabile integrare la $f_Z$ visto che varia al variare di $u$.

[Lo_zio_Tom]

Premesso che non riesco a leggere il messaggio (avrai fatto qualche errore dell'inserimento dei simboli).
Nell'attesa che feddy ti spieghi passo passo come applicare questo metodo di trasfomazione (che secondo me è come andare a caccia di passeri con il fucile al laser), mi permetto di mostrarti un metodo alternativo che ti risolve il problema in due passaggi (lordi).

Iniziamo a notare che $Z=X/Y$ è definita in $z in (0;+oo)$

e possiamo anche scrivere

$F_Z(z)=P(Z<=z)=P(X/Y<=z)=P(Y>=X/z)$

per cui, per calcolare la CDF di z ci basta valutare le aree sottostanti,

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

moltiplicate per la funzione di densità congiunta $f(x,y)=1/a^2$ ottenendo subito

$F_(Z)(z)-={{: ( 0 ,; z<0 ),( z/2 , ; 0=1 ) :}$

da cui derivando trovi subito la densità richiesta.

Ovviamente anche con il metodo dello jacobiano arrivi al medesimo risultato.

Secondo il mio modesto parere, lascerei il metodo in oggetto per trasformazioni più complicate....

saluti

[feddy]

Confermo, il metodo di tommik è utilissimo perché permette di rispondere a calcoli del tipo $P(X

Ad ogni modo, la tua trasformazione non la capisco. Provo a scriverti i passi da fare:
(i)$phi(X,Y)=(X,Y/X)$, io userei questa, non capisco da dove tu l'abbia tirata fuori la tua.
(ii)Trovi $phi^(-1)(u,v)$ e il determinante jacobiano (in modulo).
(ii)Col cambio di variabile (a.k.a fucile al laser ) trovi la congiunta $f_(X,Y/X)(u,v)$.
(iv)Per trovare la marginale integri la densità trovata su $u$.

A dire il vero, (iv) potrebbe essere aggirato se noti che la tua congiunta non presenta termini misti in $u$ e $v$, ma non ho fatto i conti quindi non so come venga. Come vedi è un metodo un po' laborioso che si presa a trasformazioni un po' più complicate

[feddy]

Mi sono dimenticato due cose fondamentali: ovviamente è importantissimo conoscere la congiunta $f_(X,Y)$, questo è possibile per l'indipendenza di $X$ e $Y$.

Seconda cosa: quando valuti l'espressione $f(phi^-1(u,v))$, devi prestare attenzione alle condizioni da porre su $u$ e su $v$, visto che hai sostanzialmente effettuato una trasformazione di coordinate. Una volta corretto il testo sarò più preciso

[mbistato]

"feddy":
Seconda cosa: quando valuti l'espressione $f(phi^-1(u,v))$, devi prestare attenzione alle condizioni da porre su $u$ e su $v$, visto che hai sostanzialmente effettuato una trasformazione di coordinate. Una volta corretto il testo sarò più preciso

Ma se $f_{X,Y}=\frac{1}{a^2}$, anche $f(phi^-1(u,v))=\frac{1}{a^2}$ no?

Facendo i calcoli ottengo:

$f_{X,\frac{Y}{X}}(u,v)=\frac{u}{a^2}$

e calcolando la marginale rispetto a $u$:

$f_{\frac{Y}{X}}=\int_0^a\frac{u}{a^2}\ du=[\frac{u^2}{2a^2}]_0^a=\frac{1}{2}$

[Lo_zio_Tom]

Sì è giusto! ma questo va bene per $z<1$. Il problena è che $z in (0;+oo)$. Cosa succede quando $z>1?$

Per applicare (secondo me complicando inutilmente la faccenda) il metodo dello jacobiano hai:

$Z=Y/X$

${{: ( z=y/x ),( w=x ) :} rarr {{: ( x=w),( y=wz) :} $

da cui $|detJ|=w$ e quindi $f_(ZW)(z,w)*|detJ|=w/a^2$

ora devi "solo" fare attenzione a come integri rispetto a w:

Osserva che

${{: (0
che significa $w
ovvero

$f_Z=int_(0)^(a)w/a^2 dw=1/2$ se $0
$f_Z=int_(0)^(a/z)w/a^2 dw=1/(2z^2)$ se $z>=1$

che è esattamente il risultato che ho trovato io in 2 passaggi senza fare tutta 'sta pletora di calcoli (nel mio post precedente ho inavvertitamente calcolato la distribuzione di $Z=X/Y$ ma è evidentemente la stessa cosa)

"tommik":

$F_(Z)(z)-={{: ( 0 ,; z<0 ),( z/2 , ; 0=1 ) :}$

da cui derivando trovi subito la densità richiesta.

ciao

facci sapere se è chiaro...

[mbistato]

Tutto chiaro, grazie!