Densità che non torna
Sia \( X \) una variabile aleatoria con densità
\[ f_X\, (x) = \theta\, x^{-\theta - 1}\, \mathbb{1}_{(1, +\infty)} (x) \]
dove \( \theta \in \mathbb{R}^+ \).
L'obiettivo è far vedere che la variabile aleatoria \( Y = \ln\, X \) è esponenziale di parametro \( \theta \) (l'affermazione è vera e si può dimostrare in un altro modo).
Abbiamo
\[ p_Y\, (y) = P\, (Y = y) = P\, (\ln\, X = y) = P\, (X = e^y) = p_X (e^y) = \theta\, e^{-\theta y - y}\, \mathbb{1}_{(0, +\infty)} (y) \]
Nel risultato c'è un fattore \( e^{-y} \) di troppo.
Dov'è l'errore?
\[ f_X\, (x) = \theta\, x^{-\theta - 1}\, \mathbb{1}_{(1, +\infty)} (x) \]
dove \( \theta \in \mathbb{R}^+ \).
L'obiettivo è far vedere che la variabile aleatoria \( Y = \ln\, X \) è esponenziale di parametro \( \theta \) (l'affermazione è vera e si può dimostrare in un altro modo).
Abbiamo
\[ p_Y\, (y) = P\, (Y = y) = P\, (\ln\, X = y) = P\, (X = e^y) = p_X (e^y) = \theta\, e^{-\theta y - y}\, \mathbb{1}_{(0, +\infty)} (y) \]
Nel risultato c'è un fattore \( e^{-y} \) di troppo.
Dov'è l'errore?
Risposte
Grazie Sergio, ora si spiegano un po' di cose.
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