Delta nella formula di Black and Scholes e sua visualizzazione su una lognormale
Premesso che sono a livello bassissimo e quasi mi vergogno a scrivere su questo forum, volevo giusto chiedere una interpretazione concettuale.
Premetto che pongo interessi e dividendi uguali a zero e faccio l'esempio di una call.
Quindi abbiamo: \(\displaystyle S*N(d1)-K*N(d2) \)
Ricordo che N(d2) è la probabilità che a scadenza il sottostante sia superiore allo strike, mentre N(d1) è il delta.
Immaginiamo di avere Sottostante uguale a 10 e strike uguale a 11 con volatilità 40% (0,4) e tempo a scadenza 1 anno.
N(d2) è facile da interpretare: considerando l'esempio numerico "costruisco" una lognormale sul prezzo attuale del sottostante con parametri m=\(\displaystyle ln10-sigma^2/2 \) e sigma=0,4. N(d2) coincide con l'area sotto la coda destra della lognormale ed è più che intuitivo vederlo (immagine di seguito). D'altro canto (d2) può essere visto come lo z-score dei rendimenti. [Chiedo scusa, avevo invertito i valori di strike e spot, ho corretto]
Ora passiamo al delta e quindi a N(d1);
Considerato che:
[Sottostante*N(d1)] può essere ottenuto come nella figura di seguito e può essere interpretata come il valore atteso (attualizzato se r>0) del sottostante alla scadenza dell'opzione, nel caso in cui essa venga esercitata.
Se ora "costruisco" una lognormale sullo strike 11, con parametri m=\(\displaystyle ln11-sigma^2/2 \) e sigma=0,4, l'area tra 0 e 10 che è il prezzo spot, sotto tale lognormale (la coda sinistra), corrisponde esattamente al delta e questo per qualunque esempio numerico si faccia, sia con opzioni ATM, OTM, ITM.
Come può interpretarsi la rappresentazione grafica siffatta del solo N(d1) utilizzando la lognormale? COme percentuale del valore atteso totale relativamente allo strike?
Spero di essermi spiegato e di aver scelto la sezione giusta, nel caso lo riposto in quella economica.
Grazie per lo spazio.
Premetto che pongo interessi e dividendi uguali a zero e faccio l'esempio di una call.
Quindi abbiamo: \(\displaystyle S*N(d1)-K*N(d2) \)
Ricordo che N(d2) è la probabilità che a scadenza il sottostante sia superiore allo strike, mentre N(d1) è il delta.
Immaginiamo di avere Sottostante uguale a 10 e strike uguale a 11 con volatilità 40% (0,4) e tempo a scadenza 1 anno.
N(d2) è facile da interpretare: considerando l'esempio numerico "costruisco" una lognormale sul prezzo attuale del sottostante con parametri m=\(\displaystyle ln10-sigma^2/2 \) e sigma=0,4. N(d2) coincide con l'area sotto la coda destra della lognormale ed è più che intuitivo vederlo (immagine di seguito). D'altro canto (d2) può essere visto come lo z-score dei rendimenti. [Chiedo scusa, avevo invertito i valori di strike e spot, ho corretto]
Ora passiamo al delta e quindi a N(d1);
Considerato che:
[Sottostante*N(d1)] può essere ottenuto come nella figura di seguito e può essere interpretata come il valore atteso (attualizzato se r>0) del sottostante alla scadenza dell'opzione, nel caso in cui essa venga esercitata.
Se ora "costruisco" una lognormale sullo strike 11, con parametri m=\(\displaystyle ln11-sigma^2/2 \) e sigma=0,4, l'area tra 0 e 10 che è il prezzo spot, sotto tale lognormale (la coda sinistra), corrisponde esattamente al delta e questo per qualunque esempio numerico si faccia, sia con opzioni ATM, OTM, ITM.
Come può interpretarsi la rappresentazione grafica siffatta del solo N(d1) utilizzando la lognormale? COme percentuale del valore atteso totale relativamente allo strike?
Spero di essermi spiegato e di aver scelto la sezione giusta, nel caso lo riposto in quella economica.
Grazie per lo spazio.
Risposte
Benvenuto/a nel forum! Non devi avere vergogna. In futuro cerca di limitare il piu' possibile immagini esterne, perche' alcuni post potrebbero rimanere "monchi" se queste verranno rimosse. [regolamento]1[/regolamento]
"feddy":
Benvenuto/a nel forum! Non devi avere vergogna. In futuro cerca di limitare il piu' possibile immagini esterne, perche' alcuni post potrebbero rimanere "monchi" se queste verranno rimosse. [regolamento]1[/regolamento]
Grazie per il benvenuto,
sto facendo un lavoro sulle opzioni cercando di semplificare al massimo i concetti alla base del modello di prezzo di riferimento.
Utilizzo molto le visualizzazioni
Ciao, provo a risponderti ma prima devo premettere una precisazione molto importante - è vitale quando si tratta di finanza matematica e quant finance in generale (magari è ovvia, ma meglio farlo notare perché altrimenti è facile prendere granchi)
non è propriamente vero. Quella che chiami "probabilità che a scadenza il sottostante sia superiore allo strike" la scriveresti, formalmente, come (supponendo di trovarci al tempo 0)
\[
P(S_T > K) = E^P[1_{S_T >K}]
\]
dove con \(1\) ho indicato la funzione indicatrice dell'insieme degli eventi elementari per cui, a scadenza il sottostante è superiore allo strike. L'inghippo sta nel fatto che qui si utilizza la misura di probabilità reale (o storica) cioé quella in cui l'asset segue un moto browniano geometrico con drift pari al rendimento annualizzato atteso \(\mu\): immagina che lo stock sia Tesla, questo potrebbe essere 25% eg per fissare le idee.
Rimanendo nel tuo esempio (T = 1, volatilità = 40%, \(S_0 = 10\), K = 11 ), e supponendo un drift del 16%, avresti una probabilità \(P(S_1 > 11) = 48.73\%\)
Tuttavia, quando prezzi le opzioni calcoli valori di aspettazione in una misura di probabilità completamente diversa, che nulla (o meglio, quasi nulla) ha a che fare con la misura di probabilità reale. Questa è detta misura di probabilità neutrale al rischio - ed è quella misura in cui l'asset segue un GBM con un drift pari al tasso risk free. Per dare ordini di grandezza, il tasso neutrale al rischio (tralasciando il fatto se esista realmente e quale esso sia), approssimato con un proxy dato dal tasso overnight è dell'ordine dello -0.5%.
Nel tuo esempio, la probabilità risk-free Q di essere sopra strike a scadenza è pari invece a \(Q(S_1 > 11) = 32.60\%\).
Detta Q questa misura di probabilità, è corretto dire che "probabilità neutrale al rischio che a scadenza il sottostante sia superiore allo strike" è:
\[
Q(S_T > K) = E^Q[1_{S_T >K}] = N(d_2)
\]
Quindi, è bene specificare cosa intendi come valore atteso: per esempio, quando dici
avresti due possibilità:
1) valore atteso nella misura reale P:
\[
E^P[S_T] = E^P[S_0 e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T}] = S_0 e^{\mu t}
\]
2) valore atteso nella misura neutrale al rischio Q:
\[
E^Q[S_T] = E^Q[S_0 e^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T}] = S_0 e^{r t}
\]
ps noto ora, ti chiedevi in realtà il valore atteso del sottostante a scadenza nel caso in cui l'opzione venga esercitata, ossia l'aspettazione:
\[
E[S_T 1_{S_T > K}]
\]
tuttavia anche in questo caso valgono le stesse considerazioni fatte prima.
Ricordo che N(d2) è la probabilità che a scadenza il sottostante sia superiore allo strike
non è propriamente vero. Quella che chiami "probabilità che a scadenza il sottostante sia superiore allo strike" la scriveresti, formalmente, come (supponendo di trovarci al tempo 0)
\[
P(S_T > K) = E^P[1_{S_T >K}]
\]
dove con \(1\) ho indicato la funzione indicatrice dell'insieme degli eventi elementari per cui, a scadenza il sottostante è superiore allo strike. L'inghippo sta nel fatto che qui si utilizza la misura di probabilità reale (o storica) cioé quella in cui l'asset segue un moto browniano geometrico con drift pari al rendimento annualizzato atteso \(\mu\): immagina che lo stock sia Tesla, questo potrebbe essere 25% eg per fissare le idee.
Rimanendo nel tuo esempio (T = 1, volatilità = 40%, \(S_0 = 10\), K = 11 ), e supponendo un drift del 16%, avresti una probabilità \(P(S_1 > 11) = 48.73\%\)
Tuttavia, quando prezzi le opzioni calcoli valori di aspettazione in una misura di probabilità completamente diversa, che nulla (o meglio, quasi nulla) ha a che fare con la misura di probabilità reale. Questa è detta misura di probabilità neutrale al rischio - ed è quella misura in cui l'asset segue un GBM con un drift pari al tasso risk free. Per dare ordini di grandezza, il tasso neutrale al rischio (tralasciando il fatto se esista realmente e quale esso sia), approssimato con un proxy dato dal tasso overnight è dell'ordine dello -0.5%.
Nel tuo esempio, la probabilità risk-free Q di essere sopra strike a scadenza è pari invece a \(Q(S_1 > 11) = 32.60\%\).
Detta Q questa misura di probabilità, è corretto dire che "probabilità neutrale al rischio che a scadenza il sottostante sia superiore allo strike" è:
\[
Q(S_T > K) = E^Q[1_{S_T >K}] = N(d_2)
\]
Quindi, è bene specificare cosa intendi come valore atteso: per esempio, quando dici
[Sottostante*N(d1)] può essere ottenuto come nella figura di seguito e può essere interpretata come il valore atteso (attualizzato se r>0) del sottostante alla scadenza dell'opzione
avresti due possibilità:
1) valore atteso nella misura reale P:
\[
E^P[S_T] = E^P[S_0 e^{\left(\mu-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T}] = S_0 e^{\mu t}
\]
2) valore atteso nella misura neutrale al rischio Q:
\[
E^Q[S_T] = E^Q[S_0 e^{\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)T + \sigma W_T}] = S_0 e^{r t}
\]
ps noto ora, ti chiedevi in realtà il valore atteso del sottostante a scadenza nel caso in cui l'opzione venga esercitata, ossia l'aspettazione:
\[
E[S_T 1_{S_T > K}]
\]
tuttavia anche in questo caso valgono le stesse considerazioni fatte prima.
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