Definizione di modello Stazionario

[checco83x-votailprof]

Salve volevo chiedervi una definizione di
Processo Stazionario nell'ambito dei processi stocastici

saluti a tutti e grazie

[olaxgabry]

"checco83x":Salve volevo chiedervi una definizione di
Processo Stazionario nell'ambito dei processi stocastici

saluti a tutti e grazie

Credo che tu faccia riferimento alla stazionarietà in senso debole: comunque un processo è stazioanario se la media, la varianza e la sua covarianza non dipendono dal tempo, ovvero sono costanti. Questa è la stazionarietà debole; in quella forte cià che deve essere costante nel tempo è la funzione di densità congiunta del processo. Comunque, se supponi che ${X_{t}}$ sia Gaussiano, ti basta quella debole.

[Sk_Anonymous]

olaxgabry ha scritto:
Credo che tu faccia riferimento alla stazionarietà in senso debole: comunque un processo è stazioanario se la media, la varianza e la sua covarianza non dipendono dal tempo, ovvero sono costanti. Questa è la stazionarietà debole; in quella forte cià che deve essere costante nel tempo è la funzione di densità congiunta del processo. Comunque, se supponi che sia Gaussiano, ti basta quella debole.

Forse le definizioni date da olaxgabry vanno un po' migliorate:
1) Media e Varianza costanti, bene. Ma alla covarianza, che però è bene chiamare "auto-covarianza", non si richiede di essere costante, ma di dipendere solo dalla differenza $t_2-t_1$ invece che dai singoli istanti $t_1$ e $t_2$. Ovviamente stiamo parlando di
$Cov(X(t_1) , X(t_2))$ .
Questo per quanto riguarda la stazionarietà in senso debole.
2) Quanto alla stazionarietà in senso forte, occorre precisare che non c'é una sola "densità congiunta del processo", ma ce ne sono un'infinità degna della potenza del continuo, e per tutte queste possibili densità si fa una richiesta:
se $F(t_1, t_2, ...., t_n)$ è la funzione di densità congiunta delle n variabili aleatorie, scelte ad arbitrio, $X(t_1), X(t_2) , ..., X(t_n)$, allora la F deve essere invariante per qualsiasi traslazione temporale, cioè essa deve dipendere dagli n istanti solo per il tramite delle loro n-1 differenze:
$tau_k-=t_{k +1}- t_k$ k=1,2, ..., n-1
3) Ultima precisazione: Se un processo Gaussiano è stazionario in senso debole, allora lo è pure in senso forte.