Dalla densità alla funzione di ripartizione

[_Daniele_]

Sia $X$ una variabile aleatoria con densità:
$ f(x)={ ( 2/3 rarr x in [-1,0) ),( k/3x rarr x in [0,1) ),( 2/3 - 1/3x rarr x in [1,2] ),( 0 rarr alrove):} $
Determinare la funzione di ripartizione di $X$ .

Per prima cosa ho calcolato la costante sfruttando la densità:
$ int_(-1)^(2) f(x) dx = 1 rarr int_(-1)^(0) 2/3 dx + int_(0)^(1) k/3x dx + int_(1)^(2) (2/3-1/3x) dx =1 rarr k=1 $

Per la funzione di ripartizione ho fatto in questo modo:
per $t<-1 rarr 0$
.
.
.
per $t>=2 rarr 1$ e fin quì ok.

Poi:
per $-1<=t<0 rarr int_(-1)^(t) 2/3 dx = 2/3t+2/3$
per $0<=t<1 rarr int_(-1)^(0) 2/3 dx + int_(0)^(t) 1/3x dx = 2/3+(t^2)/6$
per $1<=t<2$ mi impiccio. Nel senso, in principio avevo fatto cosi $int_(1)^(2) 1/3x dx + int_(2)^(t) (2/3-1/3x) dx$ ma svolgendo l'integrale non viene. Cosa sbaglio?
Grazie mille

[Lo_zio_Tom]

"JustDani95":
per $1<=t<2$ mi impiccio. Nel senso, in principio avevo fatto cosi $int_(1)^(2) 1/3x dx + int_(2)^(t) (2/3-1/3x) dx$ ma svolgendo l'integrale non viene. Cosa sbaglio?
Grazie mille

$F_X(1)+ int_(1)^(t) (2/3-1/3x) dx=5/6+ int_(1)^(t) (2/3-1/3x) dx$

così vedi che viene.....se noti ti ho corretto anche la formula per l'integrale dell'intervallo precedente

non so perché ti piace integrare in x ed esprimere la F in t, io farei il contrario ma contento tu.....

[_Daniele_]

Vedo e ti dico.
Concettualmente (calcoli a parte), gli altri integrali ti sembrano corretti? Mi sto aiutando con questa discussione viewtopic.php?f=34&t=89414

Ti ringrazio

[_Daniele_]

Non ho capito il criterio di scelta degli estremi di integrazione, anche seguendo la discussione che ho linkato non ho le idee chiarissime.

Sto seguendo le dispense del tutor, quindi è a lui che gli piace esprimere la F in t

[Lo_zio_Tom]

"JustDani95":
Sto seguendo le dispense del tutor, quindi è a lui che gli piace esprimere la F in t

Allora facciamo come piace a lui....

Almeno all'inizio prova ad aiutarti disegnando il grafico della tua densità (clicca sull'immagine per ingrandirla)



Prova ora a metterti nella situazione di dover scrivere l'espressione analitica della CDF, $F_(X)(t)$ con $t$ che varia nell'intervallo $[1;2]$

sicuramente dovrai tener conto di tutte le probabilità cumulate negli intervalli precedenti: $4/6+1/6=5/6$ e poi integrerai la tua densità sempre nell'intervallo $(-oo;t]$ che nella fattispecie sarà $[1;t]$

quindi $F_(X)(t)=5/6+int_(1)^(t)[2/3-x/3]dx=1/3+2/3t-t^2/6$

come vedi $F(2)=1$

[_Daniele_]

Chiarissimo! Ti ringrazio!