Curiosità statistica
salve a tutti ragazzi volevo sottoporvi una curiosità che avrei dovuto saper risolvere, ma che non ricordando più tanto bene le cose, avendo fatto statistica un po' di tempo fa.. non saprei rispondere!
Data una cesta contenente 100 palline di cui 20 Rosse e le restanti Verdi, qual'è la probabilità di pescare almeno una pallina rossa estraendone a caso tre volte le palline dal cesto?
Se non erro quella parolina "almeno" dovrebbe leggermente far cambiare il calcolo, o sbaglio? Mi potreste dire qual'è il ragionamento che c'è sotto a quello che è il risultato, perchè io avevo pensato di trovare la suddetta possibilità moltiplicando:
(20/100) * (19/99) * (18/98)
Tuttavia questa mi sembra che sia la possibilità di pescare 3 palline Rosse consecutive mentre non ricordo quella di beccarne almeno una.. quale il ragionamento logicamente corretto?
Ringraziandovi anticipatamente per l'attenzione, spero in una vostra cortese risposta!
Data una cesta contenente 100 palline di cui 20 Rosse e le restanti Verdi, qual'è la probabilità di pescare almeno una pallina rossa estraendone a caso tre volte le palline dal cesto?
Se non erro quella parolina "almeno" dovrebbe leggermente far cambiare il calcolo, o sbaglio? Mi potreste dire qual'è il ragionamento che c'è sotto a quello che è il risultato, perchè io avevo pensato di trovare la suddetta possibilità moltiplicando:
(20/100) * (19/99) * (18/98)
Tuttavia questa mi sembra che sia la possibilità di pescare 3 palline Rosse consecutive mentre non ricordo quella di beccarne almeno una.. quale il ragionamento logicamente corretto?
Ringraziandovi anticipatamente per l'attenzione, spero in una vostra cortese risposta!
Risposte
Ciao, è abbastanza semplice:
Su 3 estrazioni hai 8 risultati possibili, ovvero:
RRR,
RRN,
RNR,
RNN,
NRR,
NRN,
NNR,
NNN.
Di queste otto possibili configurazioni, solo una è quella che non ti va bene, ovvero l'ultima, il caso che escano 3 palline nere.
Quindi, la probabilità di avere in tre estrazioni almeno una pallina rossa è data da:
$P($almeno una rossa$) = 1 - P($tutte e tre nere$ ) =$$ 1 - 80/100*79/99*78/98 ~~ 0,492$
Ovvero circa il $49%$.
Spero di non aver scritto castronerie!!
Su 3 estrazioni hai 8 risultati possibili, ovvero:
RRR,
RRN,
RNR,
RNN,
NRR,
NRN,
NNR,
NNN.
Di queste otto possibili configurazioni, solo una è quella che non ti va bene, ovvero l'ultima, il caso che escano 3 palline nere.
Quindi, la probabilità di avere in tre estrazioni almeno una pallina rossa è data da:
$P($almeno una rossa$) = 1 - P($tutte e tre nere$ ) =$$ 1 - 80/100*79/99*78/98 ~~ 0,492$
Ovvero circa il $49%$.
Spero di non aver scritto castronerie!!
grazie mille mad, credo proprio sia come dici tu, le castronerie le ho scritte semmai io nello spoiler!!!
Dal punto di vista probabilistico il tuo ragionamento è calzante, tuttavia mi aspettavo un risultato diverso, possibile che con una "popolazione" di sole 20 palline rosse su 100 si ha una probabilità cosi alta di beccarne almeno una considerando solo 3 pescate?.
Dal punto di vista probabilistico il tuo ragionamento è calzante, tuttavia mi aspettavo un risultato diverso, possibile che con una "popolazione" di sole 20 palline rosse su 100 si ha una probabilità cosi alta di beccarne almeno una considerando solo 3 pescate?.
Non ho capito... ma c'è reinserimento o no? Dal testo sembra di si (e si una una d. bernoulliana).
"medeo":
grazie mille mad, credo proprio sia come dici tu, le castronerie le ho scritte semmai io nello spoiler!!!
Dal punto di vista probabilistico il tuo ragionamento è calzante, tuttavia mi aspettavo un risultato diverso, possibile che con una "popolazione" di sole 20 palline rosse su 100 si ha una probabilità cosi alta di beccarne almeno una considerando solo 3 pescate?.
...ed è possibile che in un campione di sole 23 persone la probabilità che almeno due di esse siano nate nello stesso giorno è del 51% circa? Ed in un campione di 50 persone del 97%?
Risposta: Sì, lo è!
D'altronde è anche abbastanza intuitivo, se consideri tutte le possibili combinazioni delle otto pescate.
Per quanto riguarda il reinserimento, in effetti non ci avevo pensato! Ma il ragionamento rimane lo stesso, anzi in tal caso sarebbe anche più facile perché la VA sarebbe una binomiale di parametri ($3, 1/5$) con la sua funzione di probabilità già bella e pronta
Anche il risultato non cambia poi molto: $48,8%$
"medeo":
... possibile che con una "popolazione" di sole 20 palline rosse su 100 si ha una probabilità cosi alta di beccarne almeno una considerando solo 3 pescate?.
Intuitivamente parlando, hai il 20% su una sola pescata, essendone 3, addirittura si potrebbe pensare al 60% (... ovviamente sbagliando...),
questo per dirti che non vedo che il risultato sia cosi' tanto "strano".
"The_Mad_Hatter":
Anche il risultato non cambia poi molto: $48,8%$
Non cambia molto proprio perche si tratta di una popolazione di 100 palline, su solo 3 estrazioni.
Quindi "l'influenza" di rimettere la pallina all'interno ha poca importanza.
Se la popolazione delle palline fosse stata 10, il peso della reimmissione era maggiore.
Se invece la popolazione fosse stata di 1.000.000 le % erano quasi uguali.
"The_Mad_Hatter":
...ed è possibile che in un campione di sole 23 persone la probabilità che almeno due di esse siano nate nello stesso giorno è del 51% circa? Ed in un campione di 50 persone del 97%?
Risposta: Sì, lo è!
D'altronde è anche abbastanza intuitivo, se consideri tutte le possibili combinazioni delle otto pescate.
INCREDIBILE, non la sapevo questa cosa davvero curiosa!!
Sulle combinazioni volevo chiederti, se io ne consideravo non 8 ma 5 semplicemente perchè era indifferente l'ordine di pescaggio (cioè RRN = RNR = NRR cosi come RNN=NRN) cambiava nulla vero?
"The_Mad_Hatter":
Per quanto riguarda il reinserimento, in effetti non ci avevo pensato! Ma il ragionamento rimane lo stesso, anzi in tal caso sarebbe anche più facile perché la VA sarebbe una binomiale di parametri ($3, 1/5$) con la sua funzione di probabilità già bella e pronta
Anche il risultato non cambia poi molto: $48,8%$
Col reinserimento quindi la probabilità di pescarne almeno una rossa è minore (anche se leggermente)? Anche questo intuitivamente non me lo sarei mai aspettato!
Se non sono troppo esigente, potrei chiedere cortesemente come hai fatto a dire che in caso di reinserimento la variabile aleatoria sia una binomiale con quei parametri 3 e 1/5?
Grazie a mad e umby, questa materia da studiare teoricamente la consideravo cosi ostica invece quando la si riporta a casi banali, che rientrano più nel quotidiano ti rendi conto della sua potenza che non è assolutamente da meno alle scienze più deterministiche!
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