Covarianza in una semplice serie storica (arma (1,1))
ciao ragazzi, ho un problemino 
:
premesse: si tratta di una serie storica, per chi mastica un pò di econometria si tratta di un processo ARMA (1,1), ma bastano delle conoscenze di base di statistica per aiutarmi
glossario:
- y(t) è la variabile dipendente, y(t-1) è il primo ritardo della variabile dipendente (cioè il valore di y che si è verificato 1 periodo prima del tempo t);
- e(t) è un White Noise (sempre per chi mastica un pò di econometria): cioè un processo random distribuito secondo una normale con media=0 e covarianza=sigma^2; in particolare il processo White Noise richiede che i vari e(t);e(t-1);e(t-2)..... siano tra loro incorrelati (cioè hanno covarianza=0) ma nn indipendenti ...in notazione e(t)->WN(0, sigma^2)
-a e b sono due generici coefficienti
prendendo un generico processo ARMA (1,1):
y(t)=a*y(t-1)+e(t)+b*e(t-1)
nn riesco a capire:
come mai la covarianza tra y(t) e e(t) è uguale a sigma^2 (cioè è uguale alla varianza di e(t) ), in notazione come mai: COV [e(t);y(t)]=sigma^2 ??????
e come mai invece COV[e(t-1);y(t)]=(b+a)*sigma^2 ????????????
qualcuno riesce a spiegarmelo ????????????
grazie
Ps: dimenticavo di dire che il processo descritto nell' equazione è stazionario ed ergodico
:premesse: si tratta di una serie storica, per chi mastica un pò di econometria si tratta di un processo ARMA (1,1), ma bastano delle conoscenze di base di statistica per aiutarmi
glossario:
- y(t) è la variabile dipendente, y(t-1) è il primo ritardo della variabile dipendente (cioè il valore di y che si è verificato 1 periodo prima del tempo t);
- e(t) è un White Noise (sempre per chi mastica un pò di econometria): cioè un processo random distribuito secondo una normale con media=0 e covarianza=sigma^2; in particolare il processo White Noise richiede che i vari e(t);e(t-1);e(t-2)..... siano tra loro incorrelati (cioè hanno covarianza=0) ma nn indipendenti ...in notazione e(t)->WN(0, sigma^2)
-a e b sono due generici coefficienti
prendendo un generico processo ARMA (1,1):
y(t)=a*y(t-1)+e(t)+b*e(t-1)
nn riesco a capire:
come mai la covarianza tra y(t) e e(t) è uguale a sigma^2 (cioè è uguale alla varianza di e(t) ), in notazione come mai: COV [e(t);y(t)]=sigma^2 ??????
e come mai invece COV[e(t-1);y(t)]=(b+a)*sigma^2 ????????????
qualcuno riesce a spiegarmelo ????????????
graziePs: dimenticavo di dire che il processo descritto nell' equazione è stazionario ed ergodico
Risposte
prima di leggere il tuo post, ti inviterei a scrivere in codice corretto il tuo messaggio rendendo in questo modo più leggibile quello che hai scritto e dunque aumentare le possibilità di avere una risposta (quindi è nel tuo interesse). Scritto così è di difficile e pesante lettura.
In problemi di questo tipo si procede con sostituzioni, a meno di perdersi pezzi per strada (ma succede solo con più ritardi) i conti soo semplici:
$COV(yt,et)=COV[(a*Yt-1+et+b*et-1),et]$
sapendo che le medie delle due componenti sono nulle devi togliere il simbolo di covarianza e passare ad un semplice prodotto
$COV(yt,et)=(a*Yt-1+et+b*et-1)*et=et^2=s^2$
a questo punto ti devi ricordare che $et$ è white noise quindi non è autocorrelato con i suoi ritardi, da cui tutti i prodotti sono nulli a parte il quadrato del residuo stesse, che rappresenta la varianza (s^2). Devi fare la massima attenzione al fatto che sviluppando il temine Yt-1 la componente a madia mobile con il pedice più recente sarebbe $et-1$ che è incorrelato con $et$.
Se la memoria del processo è più lunga sono proprio tali coponenti nascoste a farti sbagliare. Se hai capito il meccanismo la seconda COV dovrebbe venirti, altrimenti chiedi.
$COV(yt,et)=COV[(a*Yt-1+et+b*et-1),et]$
sapendo che le medie delle due componenti sono nulle devi togliere il simbolo di covarianza e passare ad un semplice prodotto
$COV(yt,et)=(a*Yt-1+et+b*et-1)*et=et^2=s^2$
a questo punto ti devi ricordare che $et$ è white noise quindi non è autocorrelato con i suoi ritardi, da cui tutti i prodotti sono nulli a parte il quadrato del residuo stesse, che rappresenta la varianza (s^2). Devi fare la massima attenzione al fatto che sviluppando il temine Yt-1 la componente a madia mobile con il pedice più recente sarebbe $et-1$ che è incorrelato con $et$.
Se la memoria del processo è più lunga sono proprio tali coponenti nascoste a farti sbagliare. Se hai capito il meccanismo la seconda COV dovrebbe venirti, altrimenti chiedi.
"markowitz":
In problemi di questo tipo si procede con sostituzioni, a meno di perdersi pezzi per strada (ma succede solo con più ritardi) i conti soo semplici:
$COV(yt,et)=COV[(a*Yt-1+et+b*et-1),et]$
sapendo che le medie delle due componenti sono nulle devi togliere il simbolo di covarianza e passare ad un semplice prodotto
$COV(yt,et)=(a*Yt-1+et+b*et-1)*et=et^2=s^2$
a questo punto ti devi ricordare che $et$ è white noise quindi non è autocorrelato con i suoi ritardi, da cui tutti i prodotti sono nulli a parte il quadrato del residuo stesse, che rappresenta la varianza (s^2). Devi fare la massima attenzione al fatto che sviluppando il temine Yt-1 la componente a madia mobile con il pedice più recente sarebbe $et-1$ che è incorrelato con $et$.
Se la memoria del processo è più lunga sono proprio tali coponenti nascoste a farti sbagliare. Se hai capito il meccanismo la seconda COV dovrebbe venirti, altrimenti chiedi.
ok, grazie tante markowitz
Solo una cosa non mi è chiarissima: come mai la media di yt è uguale a 0, E(yt)=0 ??? In realtà posso dedurlo dal fatto che, essendo il processo stazionario posso rappresentarlo come un processo moving average di ordine infinito: MA(infinito) e quindi, essendo il processo moving average la somma di infiniti white noise che hanno media 0, la media di yt è 0.ok
.... ma sono sicuro che c' è un altro modo per capire che il momento primo di yt sia zero, senza passare dalla rappresentazione tramite il moving average, sbaglio???
grazie ancora
Quello che dici è corretto ed effettivamente una strada più breve per capire che $E[Y]=0$ esiste.
Se mi permetti una generalizzazione aggiugo una costante $c$ diversa da zero al processo ARMA(1,1).
$Yt=c+a*Yt-1+b*et-1+et$, da cui $E[Yt]=E[c+a*Yt-1+b*et-1+et]=c+a*E[Yt-1]$ la coponente a media mobile si annulla.
Dopodiché ricordandoci che, per assunzione di partenza, il processo è stazionario sappiamo che il valore atteso non condizionale è ben definito e NON dipende dal tempo quindi.
$E[Yt]=c+a*E[Yt]$ quindi $E[Yt]*(1-a)=c$da cui $E[Yt]=c/(1-a)$ e siccome tale momento non dipende dal tempo (stazionarietà) possiamo scrivere:
$E[Y]=c/(1-a)$ si deduce subito che se $c=0$ la media è nulla. Inoltre puoi anche notare che se $a=1$ (componente AR non stazionaria) il valore atteso non è ben definito.
Volendo, per essere rigorosi al massimo livello, invece di far sparire il pedice "con le parole" come ho fatto io, si può utilizzare l'operatore ritardo.
Se mi permetti una generalizzazione aggiugo una costante $c$ diversa da zero al processo ARMA(1,1).
$Yt=c+a*Yt-1+b*et-1+et$, da cui $E[Yt]=E[c+a*Yt-1+b*et-1+et]=c+a*E[Yt-1]$ la coponente a media mobile si annulla.
Dopodiché ricordandoci che, per assunzione di partenza, il processo è stazionario sappiamo che il valore atteso non condizionale è ben definito e NON dipende dal tempo quindi.
$E[Yt]=c+a*E[Yt]$ quindi $E[Yt]*(1-a)=c$da cui $E[Yt]=c/(1-a)$ e siccome tale momento non dipende dal tempo (stazionarietà) possiamo scrivere:
$E[Y]=c/(1-a)$ si deduce subito che se $c=0$ la media è nulla. Inoltre puoi anche notare che se $a=1$ (componente AR non stazionaria) il valore atteso non è ben definito.
Volendo, per essere rigorosi al massimo livello, invece di far sparire il pedice "con le parole" come ho fatto io, si può utilizzare l'operatore ritardo.
Ok, tutto chiaro , se (a) fosse uguale a 1 immagino che il processo AR contenuto nell' ARMA nn sarebbe invertibile (utilizzando appunto l' operatore ritardo) e quindi non stazionario (indi il valore atteso sarebbe dipendente dal tempo e non potremmo parlare di media incondizionata).
Lasciami solo approfittare della tua competenza con l' ultimissima domanda (per capire se ho capito bene ):
quando scrivi
et*(a*yt-1+b*et-1+et)
i prodotti sono tutti uguali a 0 (tranne et per se stesso) perchè:
- et*(a*yt-1)=0 è la condizione di ortogonalità, quindi anche se, per assurdo, la media di yt fosse diversa da 0 questo prodotto sarebbe comunque 0, corretto ???
- et*(b*et-1)=0 perchè la media di et è 0 e quindi sarebbe come dire: 0*0=0. Dico bene???
grazie 1000, anzi grazie 10000
Lasciami solo approfittare della tua competenza con l' ultimissima domanda (per capire se ho capito bene ):
quando scrivi
et*(a*yt-1+b*et-1+et)
i prodotti sono tutti uguali a 0 (tranne et per se stesso) perchè:
- et*(a*yt-1)=0 è la condizione di ortogonalità, quindi anche se, per assurdo, la media di yt fosse diversa da 0 questo prodotto sarebbe comunque 0, corretto ???
- et*(b*et-1)=0 perchè la media di et è 0 e quindi sarebbe come dire: 0*0=0. Dico bene???
grazie 1000, anzi grazie 10000
Si quello che dici a proposito di $E[et*Yt-1]=0$ si può dire che discende dall'ortogonalità del regressore rispetto al residuo, ma un modo più chiaro per far notare la stessa cosa si ha sviluppando il termine $Yt-1$ (consiglio di farlo sempre) ovvero:
$E[et*(b*Yt-2+et-1+b*et-2)]=0+0+0=0$ perchè per assunzione di $et$ è distribuito come un WN quindi si ha che $E[et]=0$ e soprattutto $E[et*et-k]=0$ per ogni k diverso da 0 (se k=0 abbiamo la varianza); devi notare che $Yt-2$ è riconducibile ad un MA di ordine infinito dove il termine a media mobile più recente è $et-2$.
Se invece avessi un AR(2) e stimassi un AR(1) puoi notare che $E[Yt*Yt-1]!=0$ quindi regressore non ortogonale da cui stima OLS distorta.
(per far comparire la notazione in formula è sufficente iniziare e chiudere la formula stessa col simbolo del dollaro)
Spero di esserti stato utile.
$E[et*(b*Yt-2+et-1+b*et-2)]=0+0+0=0$ perchè per assunzione di $et$ è distribuito come un WN quindi si ha che $E[et]=0$ e soprattutto $E[et*et-k]=0$ per ogni k diverso da 0 (se k=0 abbiamo la varianza); devi notare che $Yt-2$ è riconducibile ad un MA di ordine infinito dove il termine a media mobile più recente è $et-2$.
Se invece avessi un AR(2) e stimassi un AR(1) puoi notare che $E[Yt*Yt-1]!=0$ quindi regressore non ortogonale da cui stima OLS distorta.
(per far comparire la notazione in formula è sufficente iniziare e chiudere la formula stessa col simbolo del dollaro)
Spero di esserti stato utile.
Piccola nota terminologica: l'invertibilità riguarda il polinomio di ritardo associato alla componente MA, la stazionarietà riguarda invece il polinomio di ritardo associato alla componente AR.
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