Covarianza

Fai una domanda Tutte le categorie

16 feb 2012, 22:12

Salve a tutti. Ho praticamente questo piccolo esercizio: date due variabili casuali indipendenti con distr. uniforme, la prima tra -1/2 e 1 e la seconda tra 0 e 1. Calcolare la covarianza e il coefficiente di correlazione lineare di X+Y e X-Y.
Nello svolgimento io so che le due variabili sono indipendenti quindi non correlate tra loro (cov[X,Y]=0), ma quando calcolo la covarianza di X+Y come devo comportarmi?...non mi è mai capitato di calcolare la covarianza della somma o della differenza tra due variabili...
Grazie mille

Risposte

retrocomputer

16 feb 2012, 21:59

"CarR":
Salve a tutti. Ho praticamente questo piccolo esercizio: date due variabili casuali indipendenti con distr. uniforme, la prima tra -1/2 e 1 e la seconda tra 0 e 1. Calcolare la covarianza e il coefficiente di correlazione lineare di X+Y e X-Y.
Nello svolgimento io so che le due variabili sono indipendenti quindi non correlate tra loro (cov[X,Y]=0), ma quando calcolo la covarianza di X+Y come devo comportarmi?

La covarianza di X+Y non ha senso. Se non ho capito male, devi calcolare la covarianza della coppia di variabili X+Y e X-Y. Sfrutta la bilinearità della covarianza e l'indipendenza di X e Y e vedrai che la cosa si semplifica parecchio. Va bene?

CarR1

16 feb 2012, 22:14

Infatti non avevo capito cosa volesse chiaramente dire...quindi dovrei calcolare cov[X+Y,X-Y]. Allora con la proprietà di bilinearità ottengo cov(X,X)+cov(X,-Y)+cov(Y,X)+cov(Y,-Y) (se non ricordo male la proprietà di bilinearità mi diceva che cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z)...)...non vorrei aver detto eresie nel calcolo del mio caso!!!

wnvl

16 feb 2012, 22:15

Prima devi calcolare
$\displaystyle E(X+Y)=??? $
$\displaystyle E(X-Y)=??? $

Poi
$\displaystyle COV[X+Y,X-Y]=E\left(\left(X+Y-E(X+Y)\right)\left(X-Y-E(X-Y)\right)\right) $
...

wnvl

16 feb 2012, 22:20

"CarR":
la proprietà di bilinearità mi diceva che cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z)...)...non vorrei aver detto eresie nel calcolo del mio caso!!!

è giusto.

CarR1

16 feb 2012, 22:25

Ah bene...ma anche il calcolo nel caso di cov(X+Y,X-Y) risulta giusto???...in tutti i casi o applicando le proprietà o la definizione riesco a calcolarla...