Costruzione di Lévy del moto browniano
Salve a tutti.
Sto cercando di scrivere un codice in MATLAB che simuli N cammini discreti di un moto browniano, dati \(\displaystyle 2^M+1 \) istanti discreti (da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle 2^M \)). Vorrei utilizzare la costruzione di Lévy, ma sto incontrando delle difficoltà.
L'idea è di simulare il primo cammino con \(\displaystyle i\cdot2^{-M}X_i \), al variare di \(\displaystyle i \) tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2^M \), dati \(\displaystyle 2^M+1 \) campioni \(\displaystyle X_i \) di una variabile gaussiana standard. Quindi, per gli altri cammini si considerano per gli indici temporali pari sempre gli stessi valori del primo cammino, mentre per gli indici temporali dispari la seguente espressione (con \(\displaystyle i \) appunto dispari):
\(\displaystyle W^n_i=\frac{W^n_{i-1}+W^n_{i+1}}{2}+\sqrt{2^{-M-1}}X^n_i \)
\(\displaystyle X^n_i \) sono ancora campioni di una variabile gaussiana standard.
Il problema è che il mio codice non mi restituisce delle simulazioni accettabili. Ora, dato corretto il codice, credo ci siano degli errori nella costruzione di Lévy così illustrata. Qualcuno mi può dare una mano? Ho notato che in tutte le dispense in rete ci si "perde" in molti dettagli matematici, ma a me servirebbe soltanto l'idea di base della costruzione.
Vi ringrazio per l'attenzione.
Sto cercando di scrivere un codice in MATLAB che simuli N cammini discreti di un moto browniano, dati \(\displaystyle 2^M+1 \) istanti discreti (da \(\displaystyle 0 \) a \(\displaystyle 2^M \)). Vorrei utilizzare la costruzione di Lévy, ma sto incontrando delle difficoltà.
L'idea è di simulare il primo cammino con \(\displaystyle i\cdot2^{-M}X_i \), al variare di \(\displaystyle i \) tra \(\displaystyle 0 \) e \(\displaystyle 2^M \), dati \(\displaystyle 2^M+1 \) campioni \(\displaystyle X_i \) di una variabile gaussiana standard. Quindi, per gli altri cammini si considerano per gli indici temporali pari sempre gli stessi valori del primo cammino, mentre per gli indici temporali dispari la seguente espressione (con \(\displaystyle i \) appunto dispari):
\(\displaystyle W^n_i=\frac{W^n_{i-1}+W^n_{i+1}}{2}+\sqrt{2^{-M-1}}X^n_i \)
\(\displaystyle X^n_i \) sono ancora campioni di una variabile gaussiana standard.
Il problema è che il mio codice non mi restituisce delle simulazioni accettabili. Ora, dato corretto il codice, credo ci siano degli errori nella costruzione di Lévy così illustrata. Qualcuno mi può dare una mano? Ho notato che in tutte le dispense in rete ci si "perde" in molti dettagli matematici, ma a me servirebbe soltanto l'idea di base della costruzione.
Vi ringrazio per l'attenzione.
Risposte
Alla fine sono riuscito a risolvere interpretando in maniera alternativa le mie dispense ( 
), e sostituendo \(\displaystyle \frac{W^n_{i-1}+W^n_{i+1}}{2} \) con \(\displaystyle W^{n-1}_i \). La famiglia di curve è ancora poco differenziata (nel grafico in MATLAB appaiono di fatto sovrapposte come una curva unica in violetto), ma per lo meno funziona.
Se devo essere sincero, però, c'è veramente poca letteratura su questa costruzione (e quella che c'è non mi sembra fatta molto bene
).
), e sostituendo \(\displaystyle \frac{W^n_{i-1}+W^n_{i+1}}{2} \) con \(\displaystyle W^{n-1}_i \). La famiglia di curve è ancora poco differenziata (nel grafico in MATLAB appaiono di fatto sovrapposte come una curva unica in violetto), ma per lo meno funziona.Se devo essere sincero, però, c'è veramente poca letteratura su questa costruzione (e quella che c'è non mi sembra fatta molto bene
).
Mi sono dimenticato di specificare che l'indice \(\displaystyle n \) identifica un percorso della famiglia, e che quindi ho scelto di costruire i percorsi in maniera ricorsiva (almeno per gli indici temporali dispari).
Il grafico che descrivi sembra in linea con quello che vuoi ottenere.
La costruzione che vuoi implementare genera una singola traiettoria, costruendola con un processo ricorsivo: ad ogni passo aggiungi punti nella partizine di $[0,1]$ ed interpoli linearmente i punti ottenuti.
Comunque se cerchi in inglese riferimenti su questa costruzione se ne trovano.
La costruzione che vuoi implementare genera una singola traiettoria, costruendola con un processo ricorsivo: ad ogni passo aggiungi punti nella partizine di $[0,1]$ ed interpoli linearmente i punti ottenuti.
Comunque se cerchi in inglese riferimenti su questa costruzione se ne trovano.
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