Corrispondenza biunivoca tra distribuzioni e misure di probabilità
Sto leggendo da Shiryaev, Probability (1996), pag. 152 il seguente teorema:
Sia $F(x)$ una funzione di distribuzione su $\mathbb{R}$, allora esiste un'unica misura di probabilità $P$ su $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ tale che $P(a,b]=F(a)-F(b)$.
dove $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ è la $\sigma$-algebra di Borel.
All'inizio della dimostrazione che propone il libro, c'è scritto di considerare l'algebra $\mathcal{A}$ dell'unione di tutti i possibili intervalli disgiunti del tipo $(a,b]$, e su di essa definire la funzione:
$$P_0(A):=\sum_{k=1}^n (F(b_n)-F(a_n)), A\in\mathcal{A}.$$
In tal modo lui dice che tale formula definisce "evidently uniquely" una funzione additiva su $\mathcal{A}$.
A me non è evidente il fatto che $P_0$ sia l'unica funzione in grado di soddisfare la richiesta nell'enunciato del teorema che per singoli intervalli $(a,b]$ si abbia che $P_0((a,b])=F(b)-F(a)$. Intuitivamente capisco che c'è poco da fare se non fare così, però una dimostrazione non capisco come si potrebbe impostare.
Grazie in anticipo.
Sia $F(x)$ una funzione di distribuzione su $\mathbb{R}$, allora esiste un'unica misura di probabilità $P$ su $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ tale che $P(a,b]=F(a)-F(b)$.
dove $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ è la $\sigma$-algebra di Borel.
All'inizio della dimostrazione che propone il libro, c'è scritto di considerare l'algebra $\mathcal{A}$ dell'unione di tutti i possibili intervalli disgiunti del tipo $(a,b]$, e su di essa definire la funzione:
$$P_0(A):=\sum_{k=1}^n (F(b_n)-F(a_n)), A\in\mathcal{A}.$$
In tal modo lui dice che tale formula definisce "evidently uniquely" una funzione additiva su $\mathcal{A}$.
A me non è evidente il fatto che $P_0$ sia l'unica funzione in grado di soddisfare la richiesta nell'enunciato del teorema che per singoli intervalli $(a,b]$ si abbia che $P_0((a,b])=F(b)-F(a)$. Intuitivamente capisco che c'è poco da fare se non fare così, però una dimostrazione non capisco come si potrebbe impostare.
Grazie in anticipo.
Risposte
\[ P_0(A):=\sum_{k=1}^n (F(b_n)-F(a_n)), A\in\mathcal{A}. \]
Forse volevi dire
\[ P_0(A):=\sum_{k=1}^n (F(b_k)-F(a_k)), A\in\mathcal{A}? \] E come è stato scelto $n$, che proprietà ha la successione degli \((a_i,b_i]\)? Come si descrive più formalmente \(\mathcal A\)?
Forse volevi dire
\[ P_0(A):=\sum_{k=1}^n (F(b_k)-F(a_k)), A\in\mathcal{A}? \] E come è stato scelto $n$, che proprietà ha la successione degli \((a_i,b_i]\)? Come si descrive più formalmente \(\mathcal A\)?
Non è una successione, è un generico elemento dell'insieme \(\displaystyle \mathcal{A} \):
$$\mathcal{A}\ni A = \bigcup_{k=1}^n (a_k,b_k]$$
e cioè l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti di $\mathbb{R}$ della forma $(a,b]$.
$$\mathcal{A}\ni A = \bigcup_{k=1}^n (a_k,b_k]$$
e cioè l'unione di un numero finito di intervalli disgiunti di $\mathbb{R}$ della forma $(a,b]$.
Se gli intervalli sono disgiunti e $P_0((a, b])= F(b)-F(a)$, allora $P_0((a, b]\ \cup \ (c,d])= P_0((a, b]) +P_0( (c,d])= F(b)-F(a)}+{F(d)-F(c)}$ per additività
Grazie 
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