Correzione esercizi di probabilità
Ciao a tutti, avrei bisogno che qualcuno mi correggesse i seguenti esercizi:
1) Un sisteme di comunicazione è costituito da $ n $ elementi, ognuno dei quali, indipendentemente funziona con probabilità $ p $. L'intero sistema funziona solo se almeno la metà dei suoi elementi funziona. Per quali valori di $ p $ un sistema a 5 componenti funziona con maggiore probabilità di uno a 3 componenti?
2)Si lancia 3 volte una moneta equa e si considerano i seguenti eventi:
A={le facce uscite non sono tutte uguali}
B={al più una faccia è testa }
Sono eventi indipendenti?Qual è la risposta se la moneta non è equilibrata?
3)consideriamo le 12 figure presenti in un mazzo di carte ed estraiamo in blocco 5 carte. Sia $ X $ la variabile aleatoria che conta il numero di Re che ho estratto. Com'è distibuita X? Qual è la probabilità di estrarre almeno 2 Re?
1)Prendo la variabile aleatoria $ X $ che conta il numero di elementi che funzionano, $ X ~ B(n,p) $
un sisteme di 5 elementi funziona se funzionano almeno 3 componenti, quindi
$ P(X geq 3 )=( ( 5 ),( 3 ) )p^3(1-p)^2+( ( 5 ),( 4 ) )p^4(1-p)^1+( ( 5 ),( 5 ) )p^5(1-p)^0=p^3(10(1-p)^2+5p(1-p)+p^2) $
Analogamente un sistema a 3 elementi funziona se funzionano almeno 2 componenti, quindi mi viene:
$ P(X geq 2 )=( ( 3 ),( 2 ) )p^2(1-p)^1+( ( 3 ),( 3 ) )p^3(1-p)^0=3p^2(1-p)+p^3 $
poi ho calcolato il risultato della disequazione:
$ p^3(10(1-p)^2+5p(1-p)+p^2)>3p^2(1-p)+p^3 $
e il risultato mi viene $ p<1/2 $ mentre le soluzioni dicono che deve venire $ p>=1/2 $ ...
2)A e B sono indipendenti se $ P(A nn B )=P(A)P(B) $
Chiamo T=esce testa
C=esce croce
$ P(T)=P(C)=1/2 $
$ P(B)=P(X<=1)=0,5 $
$ P(A)=3/4 $
$ P(A nn B)= P(A|B)P(B)=3/4*0,5=0,1875 $
$ P(A)P(B)=0,375 $
e quindi mi vengono dipendenti invece che indipendenti...e poi come faccio a fare i calcoli nel caso in cui la moneta non è equilibrata?
3)X è una variabile aleatoria ipergeometrica , ho applicato quindi la formula con i valori $ H(12,4,5) $ ma il risultato mi viene $ 19/13 $ invece che $ 17/13 $...dove sbaglio?
Grazie mille in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi!!!!
1) Un sisteme di comunicazione è costituito da $ n $ elementi, ognuno dei quali, indipendentemente funziona con probabilità $ p $. L'intero sistema funziona solo se almeno la metà dei suoi elementi funziona. Per quali valori di $ p $ un sistema a 5 componenti funziona con maggiore probabilità di uno a 3 componenti?
2)Si lancia 3 volte una moneta equa e si considerano i seguenti eventi:
A={le facce uscite non sono tutte uguali}
B={al più una faccia è testa }
Sono eventi indipendenti?Qual è la risposta se la moneta non è equilibrata?
3)consideriamo le 12 figure presenti in un mazzo di carte ed estraiamo in blocco 5 carte. Sia $ X $ la variabile aleatoria che conta il numero di Re che ho estratto. Com'è distibuita X? Qual è la probabilità di estrarre almeno 2 Re?
1)Prendo la variabile aleatoria $ X $ che conta il numero di elementi che funzionano, $ X ~ B(n,p) $
un sisteme di 5 elementi funziona se funzionano almeno 3 componenti, quindi
$ P(X geq 3 )=( ( 5 ),( 3 ) )p^3(1-p)^2+( ( 5 ),( 4 ) )p^4(1-p)^1+( ( 5 ),( 5 ) )p^5(1-p)^0=p^3(10(1-p)^2+5p(1-p)+p^2) $
Analogamente un sistema a 3 elementi funziona se funzionano almeno 2 componenti, quindi mi viene:
$ P(X geq 2 )=( ( 3 ),( 2 ) )p^2(1-p)^1+( ( 3 ),( 3 ) )p^3(1-p)^0=3p^2(1-p)+p^3 $
poi ho calcolato il risultato della disequazione:
$ p^3(10(1-p)^2+5p(1-p)+p^2)>3p^2(1-p)+p^3 $
e il risultato mi viene $ p<1/2 $ mentre le soluzioni dicono che deve venire $ p>=1/2 $ ...
2)A e B sono indipendenti se $ P(A nn B )=P(A)P(B) $
Chiamo T=esce testa
C=esce croce
$ P(T)=P(C)=1/2 $
$ P(B)=P(X<=1)=0,5 $
$ P(A)=3/4 $
$ P(A nn B)= P(A|B)P(B)=3/4*0,5=0,1875 $
$ P(A)P(B)=0,375 $
e quindi mi vengono dipendenti invece che indipendenti...e poi come faccio a fare i calcoli nel caso in cui la moneta non è equilibrata?
3)X è una variabile aleatoria ipergeometrica , ho applicato quindi la formula con i valori $ H(12,4,5) $ ma il risultato mi viene $ 19/13 $ invece che $ 17/13 $...dove sbaglio?
Grazie mille in anticipo a chiunque vorrà aiutarmi!!!!
Risposte
Cominciamo dal n. 2. Per calcolare $P(A nn B)$ ti conviene proprio contare gli eventi favorevoli che sono ${"CTC, CCT, TCC"}$ mentre gli eventi possibili sono ${"TTT, TTC, TCT, TCC, CCC, CTC, CCT, CTT"}$. Quindi hai che $P(A nn B)=3/8=P(A)P(B)$ per cui gli eventi sono indipendenti. Il fatto poi che la moneta non sia equilibrata non influisce in questo caso sui calcoli delle probabilità richieste.
Nel primo invece mi sa che hai solo sbagliato a risolvere la disequazione.
EDIT: per il primo viene più semplice se ragioni con i complementari. Se $X_1$ è la v.a. che calcola la probabilità che un elemento del primo sistema funzioni e $X_2$ è quella che calcola la probabilità che un elemento del secondo sistema funzioni, dovrai calcolare:
$1-P(X_1<3)>1-P(X_2<2)=1-(((5),(0))(1-p)^5+((5),(1))p(1-p)^4+((5),(2))p^2(1-p)^3)>1-(((3),(0))(1-p)^3+((3),(1))p(1-p)^2)$
Semplificando otterrai: $6p^3-3p^2>0$ da cui il risultato $p>1/2$
Il terzo a me viene $p=19/33$
Nel primo invece mi sa che hai solo sbagliato a risolvere la disequazione.
EDIT: per il primo viene più semplice se ragioni con i complementari. Se $X_1$ è la v.a. che calcola la probabilità che un elemento del primo sistema funzioni e $X_2$ è quella che calcola la probabilità che un elemento del secondo sistema funzioni, dovrai calcolare:
$1-P(X_1<3)>1-P(X_2<2)=1-(((5),(0))(1-p)^5+((5),(1))p(1-p)^4+((5),(2))p^2(1-p)^3)>1-(((3),(0))(1-p)^3+((3),(1))p(1-p)^2)$
Semplificando otterrai: $6p^3-3p^2>0$ da cui il risultato $p>1/2$
Il terzo a me viene $p=19/33$
Anche a me il terzo esercizio viene $19/33$ (penso che AlyAly abbia digitato male il denominatore in $19/13$ altrimenti viene maggiore di 1..)
Sul secondo esercizio invece dai miei conti risulta che i due eventi A e B sono indipendenti solo se la moneta non è truccata.
Ho ragionato così. Diciamo $p$ la probabilità che esce testa. Ho una v.a. binomiale con $n=3$.
$P("0 teste")=(1-p)^3$
$P("1 testa")=3p(1-p)^2$
$P("2 teste")=3p^2(1-p)$
A = "le facce uscite non sono tutte uguali", quindi o è uscita 1 testa o 2:
$P(A)=P(1)+P(2)=3p(1-p)$
B= "al più una faccia è testa", quindi o zero teste o una testa:
$P(B)=P(0)+P(1)=(1+2p)(1-p)^2$
$AnnB$ = "è uscita una sola testa" (unico evento comune ad A e B):
$P(AnnB)=P(1)=3p(1-p)^2
Imponendo l'uguaglianza $P(AnnB)=P(A)P(B)$ si ottengono due espressioni generalmente diverse, che risultano uguali solo se $p=0$ oppure $p=1/2$ (appunto la moneta non è truccata)
Non mi è chiaro questo tuo passaggio
Sul secondo esercizio invece dai miei conti risulta che i due eventi A e B sono indipendenti solo se la moneta non è truccata.
Ho ragionato così. Diciamo $p$ la probabilità che esce testa. Ho una v.a. binomiale con $n=3$.
$P("0 teste")=(1-p)^3$
$P("1 testa")=3p(1-p)^2$
$P("2 teste")=3p^2(1-p)$
A = "le facce uscite non sono tutte uguali", quindi o è uscita 1 testa o 2:
$P(A)=P(1)+P(2)=3p(1-p)$
B= "al più una faccia è testa", quindi o zero teste o una testa:
$P(B)=P(0)+P(1)=(1+2p)(1-p)^2$
$AnnB$ = "è uscita una sola testa" (unico evento comune ad A e B):
$P(AnnB)=P(1)=3p(1-p)^2
Imponendo l'uguaglianza $P(AnnB)=P(A)P(B)$ si ottengono due espressioni generalmente diverse, che risultano uguali solo se $p=0$ oppure $p=1/2$ (appunto la moneta non è truccata)
"AlyAly":
$ P(A nn B)= P(A|B)P(B)=3/4*0,5=0,1875 $
Non mi è chiaro questo tuo passaggio
Sì, ho sbagliato a digitare, anche a me viene $ 19/33 $...allora saranno le soluzioni ad essere sbagliate...
Per il secondo esercizio dovrebbe aver ragione cenzo perchè è corretto che se la moneta non è equilibrata i due eventi non sono indipendenti...
Nel passaggio che non ti è chiaro ho solo applicato la definizione di intersezione di eventi ma a quanto pare ho sbagliato a calcolare $ P(A|B) $...comunque seguendo il tuo procedimento ora è chiaro
Grazie mille ad entrambi per l'aiuto!
Per il secondo esercizio dovrebbe aver ragione cenzo perchè è corretto che se la moneta non è equilibrata i due eventi non sono indipendenti...
Nel passaggio che non ti è chiaro ho solo applicato la definizione di intersezione di eventi ma a quanto pare ho sbagliato a calcolare $ P(A|B) $...comunque seguendo il tuo procedimento ora è chiaro
Grazie mille ad entrambi per l'aiuto!
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