Coppia di variabili aleatorie [esercizio]

[Jonhson91]

Si consideri la coppia di variabili aleatorie $A_1$ e $A_2$ ognuna delle quali può assumere solo i valori 0 e 5 con $P(0)=1/4$ e $P(5)=3/4$. Sapendo che il valore della probabilità congiunta in 5,5 $P(5,5)=21/32$ calcolare $P(0,0);P(0,5);P(5,0)$

Allora posso dire che la variabili non sono indipendenti, poichè $ P(5,5)!=P(5)*P(5) $
E credo di poter dire anche che $ P(0,5) = P(5,0) $ poichè la variabili sono identiche. Però non so come fare ad arrivare al risultato.

Qualcuno sa aiutarmi? grazie.

[walter891]

puoi risolvere facilmente scivendo la densità congiunta con la tabella a doppia entrata, devi tener presente che $P(5,0)+P(5,5)=P(5)$ e $P(0,0)+P(0,5)=P(0)$, essendo le variabili uguali come dici tu la tabella è simmetrica

[Jonhson91]

"walter89":puoi risolvere facilmente scivendo la densità congiunta con la tabella a doppia entrata, devi tener presente che $P(5,0)+P(5,5)=P(5)$ e $P(0,0)+P(0,5)=P(0)$, essendo le variabili uguali come dici tu la tabella è simmetrica

Allora, non ho idea di cosa sia la tabella della doppia entrata xD

Tuttavia credo di poter arrivare alla stessa formula con il teo della probabilitò totale:

Dato che $ P(5) = P(5|0)P(0)+P(5|5)P(5) $ , sfruttando questa proprietà $ P(A|B)=(P(AB))/(P(B)) $ posso riscriverlo come:

$ P(5)=P(5,0)+P(5,5)=>P(5,0)=P(5)-P(5,5)=3/4-21/32=3/32 $

Con lo stesso procedimento:

$ P(0,0)=P(0)-P(0,5)=1/4-3/32=5/32 $

E' giusto?

Domanda bonus :

Quando ho due sistemi la cui (durata della) vita è regolata da due variabili aleatorie $A,B$ indipendenti, la vita del sistema complessivo, dato dai due precedenti uniti in $1) $ serie e $2)$ parallelo, è dato rispettivamente dal calcolo di $P(A+B)$ e $P(AB)$.

Ecco, mi spiegate perchè? Innanzi tutto l'intersezione non dovrebbe essere usata quando sono in serie? Cioè, un sistema composto da due sistemi in serie funziona solo se funzionano entrambi, e quindi la soluzione dovrebbe essere l'intersezione delle due, no?
Mentre in parallelo dovrebbe funzionare se almeno uno dei due funziona, quindi perchè usare l'intersezione? Non capisco.