Convoluzione

[Fregior]

Ciao a tutti,
qualcuno saprebbe spiegarmi in concreto la convoluzione (per variabili casuali continue o discrete) cosa rappresenta?


Grazie in anticipo.

[Lo_zio_Tom]

in statistica rappresenta la somma di due variabili aleatorie indipendenti.

La formula del prodotto di convoluzione è questa:

$fox g=int_(-oo)^(+oo)f(s)g(t-s)ds$

facciamo un esempio:

Supponiamo di avere due variabili aleatorie indipendenti $X$ e $Y$ dotate di funzione di densità. Sia nota la funzione di densità congiunta $f_(XY)(x,y)$. Siamo interessati a determinare la distribuzione della variabile $Z=X+Y$.

Avremo che:

$F_(Z)(z)=P{Z<=z}=P{X+Y<=z}= intint_(x+y<=z)f(x,y)dxdy=int_(-oo)^(+oo)[int_(-oo)^(z-x)f(x)f(y)dy]dx=int_(-oo)^(+oo)f(x)[int_(-oo)^(z-x)f(y)dy]dx$

$F_(Z)(z)=int_(-oo)^(+oo)f(x)F_(Y)(z-x)dx$

e quindi

$f_(Z)(z)=int_(-oo)^(+oo)f_(X)(x)f_(Y)(z-x)dx$ => che è proprio la formula del prodotto di convoluzione che ti ho fatto vedere prima

[Fregior]

Grazie per la risposta, quindi se ho due Variabili aleatorie X e Y tali che $Z=X+Y$ la formula di convoluzione (anche detta formula del prodotto di convoluzione) mi dà la distribuzione/densità di $Z$. Giusto?

[Fregior]

In aggiunta, riguardo la convoluzione, ho trovato $E(f_x(t-Y))$ definito come il valore atteso quando si è sulla retta $X+Y=t$. Sai cosa rappresenta esattamente?

[Fregior]

Eccomi qui con un dubbio, questa volta abbiamo
$X~exp(\lambda)$ e $Y~exp(\mu)$ indipendenti ci viene chiesto di calcolare $X+Y$

usando la formula della convoluzione mi ritrovo:
$f_(X+Y)(z)=int_(0)^(b) \lambda e^(-\lambdax)*\mue^(-\mu (z-x) dx$ ed è tutto chiaro.
L'estremo inferiore di integrazione è ovviamente $0$ poiché la distribuzione esponenziale è definita per $x>=0$ ma l'estremo superiore che ho indicato con $b$ perché è $z$?

Sono ore che tento di capirlo ma non mi è chiaro sappiamo che $X+Y

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[Lo_zio_Tom]

è proprio il prodotto di convoluzione....


$f_(X+Y)(z)=int_(0)^(z)$ecc ecc

se fai un grafico della funzione $Z=X+Y$ te ne accorgi subito quali sono gli estremi di integrazione

supponiamo di voler calcolare la densità della somma di due funzioni di densità continue ed indipendenti definite per $x,y>0$

La CDF sarà:


$F_(Z)(z)=P{Z<=z}=P{X+Y<=z}=intint_(x+y<=z)f(x)f(y)dxdy=$

$=int_(0)^(z)[int_(0)^(z-x)f(x)f(y)dy]dx=int_(0)^(z)f(x)[int_(0)^(z-x)f(y)dy]dx$

Sappiamo però che $int_(0)^(z-x)f(y)dy=F_(Y)(z-x)$ quindi otteniamo

$F_(Z)(z)=int_(0)^(z)f(x)F_(Y)(z-x)dx$

a questo punto, ricordando che $d/(dz)F_(Z)(z)=f_(Z)(z)$ abbiamo che


$f_(z)(z)=int_(0)^(z)f_(X)(x)f_(Y)(z-x)dx$

che è proprio la tua convoluzione