Convergenza q.c, in prob., ecc.

[daenerys1]

Ho il seguente esercizio:

Siano $X_1, X_2, ..., X_n$ v.a. i.i.d. di legge uniforme in [a,b] e per n>=1 fissato, sia:
$Z_n = min (X_1, .., X_n)$
Studiare il limite q.c., in probabilità, il legge ed in $L^p(P)$ di $Z_n$ con n>=1

Allora io ho iniziato dalla convergenza il legge e mi sono calcolata la funzione caratteristica di $Z_n$ e mi risulta venire (a meno di errori di conti..) una costante, quindi poiché mi converge in legge ad una costante, convergerà in probabilità alla stessa costante, per gli altri casi invece come posso fare? Se dimostro comunque che converge q.c. io so che $Z_n$ in modulo è dominata da una delle variabili della successione e quindi avrei anche la convergenza in $L^p$

[Lo_zio_Tom]

Fai un errore grossolano confondendo condizione Necessaria e condizione Sufficiente.

Il quesito è molto didattico e quindi ho deciso di esporre dettagliatamente come risolverlo.

Per esercizio, sarebbe meglio dimostrare le convergenze una per una.....in probabilità, in legge, q.c. e in $L^P$

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Convergenza in Legge
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Per la convergenza in legge la strada migliore (non l'unica) è quella di definire prima di tutto la CDF della successione

$F_(Z_n)(z)={{: ( 0 , ;z=b ) :}$

e quindi

$lim_(n rarr+oo)F_(z_n)={{: ( 0 , ;z=a ) :}$

da cui si vede che la successione $Z_n \stackrel\(mathcal(L))rarr a$
Noto questo è chiaro che ci converge anche in probabilità ma sarebbe meglio calcolarlo in base alla definizione


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Convergenza in Probabilità
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Osserviamo innanzitutto che la densità di $Z_n$ tende rapidamente a zero tranne quando $Z rarr a$ e quindi è naturale cercare la convergenza proprio in $a$:

$lim_n P(|Z_n-a|
che dimostra la convergenza in probabilità.


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Convergenza qc, in distribuzione e in probabilità
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Basterebbe considerare il seguente teorema e tutto ciò che ho scritto prima sarebbe inutile:

Sia $(X_n)_(n in NN)$ una successione di variabili aleatorie. Supponiamo che $X_n$ sia monotona in $n$ cioè $X_n>=X_(n+1)$ (rispettivamente $X_n <=X_(n+1)$) per ogni $n$. Se esiste una costante C tale che per ogni $n$ vale l'uguaglianza $P(X_n>=C)=1$ (rispettivamente $ P(X_n<=C)=1$) allora $X_n$ converge in distribuzione, in probabilità e quasi certamente

Ora nel tuo esempio ci vuole poco a vedere che

$Z_(n+1)=min{X_1,X_2,...,X_n,X_(n+1)}=min{Z_n,X_(n+1)}$

e dunque $Z_(n+1)<=Z_n$

Inoltre $X_n>=a$ implica ovviamente $Z_n>=a AAn$ e quindi per il teorema appena esposto $Z_n$ converge qc e, per l'unicità del limite, si ha che

$Z_n \stackrel\(q.c.,mathcal(L),mathcal(P))rarr a$


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Convergenza in $L^P$
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Per mostrare invece la convergenza in $L^P$ basta verificare che la successione sia limitata e converga in probabilità

$P(Z_n<=b)=1 AAn$

$Z_n \stackrel\(mathcal(P))rarr a$

Quindi converge anche in $L^P$