Convergenza in probabilità e limite integrabile
Mi trovo nella situazione seguente:
ho una successione $(X_n)$ di variabili aleatorie convergente in probabilità a una variabile $X$ e so che le $X_n$ sono dominate da una variabile $Y$ integrabile.
Devo dimostrare che $\lim_{n\to\infty}E[X_n]=E[X]$.
In particolare vorrei provare che, nelle ipotesi suddette, la variabile $X$ è integrabile.
Nel caso del teorema di Lebesgue ho la convergenza puntuale, e l'integrabilità della $X$ la proverei così:
$\forall\omega\ $ $\ X_n(\omega)\to X(\omega)\ $ $\ \Rightarrow\ $ $\ \forall\omega\ $ $\ \forall\epsilon\ $ $\ \exists \bar n\ $ tale che $\ \forall n>\bar n\ $ $\ |X_n(\omega)-X(\omega)|<\epsilon$.
Da questo ottengo $|X|
E per la convergenza in probabilità come faccio?
Penserei di considerare la sotto-successione $X_{n_k}$ che converge quasi certamente e rifare i passaggi qui sopra con questa, ottenendo alla fine $|X|
ho una successione $(X_n)$ di variabili aleatorie convergente in probabilità a una variabile $X$ e so che le $X_n$ sono dominate da una variabile $Y$ integrabile.
Devo dimostrare che $\lim_{n\to\infty}E[X_n]=E[X]$.
In particolare vorrei provare che, nelle ipotesi suddette, la variabile $X$ è integrabile.
Nel caso del teorema di Lebesgue ho la convergenza puntuale, e l'integrabilità della $X$ la proverei così:
$\forall\omega\ $ $\ X_n(\omega)\to X(\omega)\ $ $\ \Rightarrow\ $ $\ \forall\omega\ $ $\ \forall\epsilon\ $ $\ \exists \bar n\ $ tale che $\ \forall n>\bar n\ $ $\ |X_n(\omega)-X(\omega)|<\epsilon$.
Da questo ottengo $|X|
E per la convergenza in probabilità come faccio?
Penserei di considerare la sotto-successione $X_{n_k}$ che converge quasi certamente e rifare i passaggi qui sopra con questa, ottenendo alla fine $|X|
Risposte
per provare l'integrabilità di $X$ va bene come hai fatto.
Per la convergenza invece ti basta ragionare partendo da questa disuguaglianza $|E(X_n)-E(X)|\leq E(|X_n-X|)$ ...
Per la convergenza invece ti basta ragionare partendo da questa disuguaglianza $|E(X_n)-E(X)|\leq E(|X_n-X|)$ ...
"fu^2":
per provare l'integrabilità di $X$ va bene come hai fatto.
"fu^2":
Per la convergenza invece ti basta ragionare partendo da questa disuguaglianza $|E(X_n)-E(X)|\leq E(|X_n-X|)$ ...
...$=E[|X_n-X|I_{A_n^c}]+E[|X_n-X|I_{A_n}]\leq E[|X_n-X|I_{A_n^c}]+E[|X_n|I_{A_n}]+E[|X|I_{A_n}]\leq$
$\leq \int \epsilon\ dP+\int_{A_n}|Y|\ dP+\int_{A_n}|X|\ dP$
dove $A_n=\{|X_n-X|>\epsilon\}$ è tale che $P(A_n)\to 0$ e i tre pezzi dell'ultima espressione sono definitivamente minori di $\epsilon$, va bene?
"retrocomputer":
[quote="fu^2"]per provare l'integrabilità di $X$ va bene come hai fatto.
"fu^2":
Per la convergenza invece ti basta ragionare partendo da questa disuguaglianza $|E(X_n)-E(X)|\leq E(|X_n-X|)$ ...
...$=E[|X_n-X|I_{A_n^c}]+E[|X_n-X|I_{A_n}]\leq E[|X_n-X|I_{A_n^c}]+E[|X_n|I_{A_n}]+E[|X|I_{A_n}]\leq$
$\leq \int \epsilon\ dP+\int_{A_n}|Y|\ dP+\int_{A_n}|X|\ dP$
dove $A_n=\{|X_n-X|>\epsilon\}$ è tale che $P(A_n)\to 0$ e i tre pezzi dell'ultima espressione sono definitivamente minori di $\epsilon$, va bene?[/quote]
si anche se potresti usare il fatto che $|X|\leq Y$ qc (come hai dimostrato nel punto sopra) e quindi ottieni direttamente che
...$=E[|X_n-X|1_{A_n^c}]+E[|X_n-X|1_{A_n}]\leq \epsilon+2E(Y 1_{A_n})$ che è come hai scritto te con mezza riga in meno
Osserva che, come hai scritto te, $E(Y 1_{A_n})\to 0$ per $n\to \infty$, qui usi nuovamente l'ipotesi.
(*)Osserva, giusto per approfondire, che quello che hai scritto te è collegato con il concetto di Uniforme Integrabilità che ti da anche una caratterizzazione della convergenza $L^1$ (il fatto di avere una v.a. integrabile che domina la tua successione è una condizione sufficiente per la U.I.).
"fu^2":
Osserva che, come hai scritto te, $E(Y 1_{A_n})\to 0$ per $n\to \infty$, qui usi nuovamente l'ipotesi.
Sì, uso il fatto che $Y$ è integrabile e il fatto che $P(A_n)\to 0$.
"fu^2":
(*)Osserva, giusto per approfondire, che quello che hai scritto te è collegato con il concetto di Uniforme Integrabilità che ti da anche una caratterizzazione della convergenza $L^1$ (il fatto di avere una v.a. integrabile che domina la tua successione è una condizione sufficiente per la U.I.).
Giusto,
$\int_{\{|X_n|>\epsilon\}} |X_n|\ dP\leq \int_{\{Y>\epsilon\}} |Y|\ dP\ \to 0\ $ per $\ \epsilon\to\infty$, con $Y$ integrabile che domina le $X_n\in L^1$, eh?
si se la famiglia è dominata è U.I., ma vale anche il viceversa (che non è il tuo esercizio). Ovvero una successione $X_n$ converge in $L^1$ a $X$ se e solo se è U.I. e converge in probabilità.
Tu in queste ipotesi hai dimostrato un'implicazione di questo teorema, in qualche senso.
Tu in queste ipotesi hai dimostrato un'implicazione di questo teorema, in qualche senso.
Se non ho capito male, il teorema che dici l'ho visto da qualche parte con il nome di teorema di Vitali, ti risulta?
In qualche appunto dovrei averne anche una versione che considera la equi-assoluta integrabilità (la cui definizione l'ho trovata solo qui a pagina 9) al posto dell'integrabilità uniforme.
In qualche appunto dovrei averne anche una versione che considera la equi-assoluta integrabilità (la cui definizione l'ho trovata solo qui a pagina 9) al posto dell'integrabilità uniforme.
In verità non so che ha un nome.
Io lo conosco senza nome
e l'ho incontrato sul libro di Williams, Probability with Martingales a pag. 131
Se cerchi penso che su googlebooks puoi trovare l'anteprima (sperando che questa pagina sia tra quelle visibili )
Io lo conosco senza nome
e l'ho incontrato sul libro di Williams, Probability with Martingales a pag. 131Se cerchi penso che su googlebooks puoi trovare l'anteprima (sperando che questa pagina sia tra quelle visibili
)
era più facile del previsto, basta wiki
http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_integrability
(al paragrafetto "Relation to convergence of random variables" c'è il teorema che ti dicevo).
Comunque se per caso devi approfondire queste cose e devi per caso fare anche le martingale il libro di Williams te lo consiglio, è conciso quanto basta e come testo introduttivo è completo di tutto
http://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_integrability
(al paragrafetto "Relation to convergence of random variables" c'è il teorema che ti dicevo).
Comunque se per caso devi approfondire queste cose e devi per caso fare anche le martingale il libro di Williams te lo consiglio, è conciso quanto basta e come testo introduttivo è completo di tutto
"fu^2":
Comunque se per caso devi approfondire queste cose e devi per caso fare anche le martingale il libro di Williams te lo consiglio, è conciso quanto basta e come testo introduttivo è completo di tutto
Ho dato una sfogliata all'anteprima e sì, mi piace. Il mio programma attuale non prevede le martingale (in realtà sono già andato oltre il programma con la definizione di uniforme integrabilità) ma se riuscissi a ottenere una tesina di probabilità credo proprio che me lo procurerei
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