Convergenza in probabilità
Se ho una successione $\{X_n\}_n$ di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite (di media $0$ e varianza $1$) perchè $|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j|$ converge a $0$ in probabilità?
Quello che io dovrei dimostrare è che $\lim_{n\to +\infty}P(\omega : |\frac{1}{\sqrt{n}}sum_{j=1}^{[sn]}X_j(\omega)-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j(\omega)|>\epsilon)=0$.
Quello che mi viene in mente è che $P(\omega : \lim_{n\to+infty}|\frac{1}{\sqrt{n}}sum_{j=1}^{[sn]}X_j(\omega)-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j(\omega)|=0)=1$, quindi siccome ho la convergenza $P$q.o. allora ho anche la convergenza in probabilità.
Vi sembra giusto come ragionamento?
Grazie a tutti!
Quello che io dovrei dimostrare è che $\lim_{n\to +\infty}P(\omega : |\frac{1}{\sqrt{n}}sum_{j=1}^{[sn]}X_j(\omega)-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j(\omega)|>\epsilon)=0$.
Quello che mi viene in mente è che $P(\omega : \lim_{n\to+infty}|\frac{1}{\sqrt{n}}sum_{j=1}^{[sn]}X_j(\omega)-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j(\omega)|=0)=1$, quindi siccome ho la convergenza $P$q.o. allora ho anche la convergenza in probabilità.
Vi sembra giusto come ragionamento?
Grazie a tutti!
Risposte
la convergenza qc implica quella in probabilità. Ma questa convergenza l'hai dimostrata o è quello che vorresti dimostrare?(intendo quella qc)
No, effettivamente mi sembrava evidente ma non lo è.
Quindi non so bene come fare.
Quindi non so bene come fare.
"stelladinatale":
Se ho una successione $\{X_n\}_n$ di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite perchè $|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j|$ converge a $0$ in probabilità?
Senza aver fatto i conti, però osservando il problema potrei pensare di ragionare, come prima idea, nel seguente modo:
per prima cosa farei qualche osservazione preliminare:
-> $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j$, $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j|$ convergono in legge? a che cosa?...
Poi penserei a un teorema che lega laconvergenza in probabilità a quella in legge (->ovvero quando la conv. in legge implica quella in probabilità?).
Intanto grazie di nuovo per la risposta.
Per il teorema del limite centrale so sicuramente che $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j$ converge in legge ad una Gaussiana di media $0$ e varianza $s$.
Nel teorema che sto studiando sapere che $|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j|$ converge a $0$ in probabilità mi serve proprio per poter concludere che anche $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j$ converge in legge ad una Gaussiana di media $0$ e varianza $s$.
Per il teorema del limite centrale so sicuramente che $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j$ converge in legge ad una Gaussiana di media $0$ e varianza $s$.
Nel teorema che sto studiando sapere che $|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j|$ converge a $0$ in probabilità mi serve proprio per poter concludere che anche $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j$ converge in legge ad una Gaussiana di media $0$ e varianza $s$.
se vuoi concludere quello allora non ti basta notare che $\sum_{i=1}^{[ns]}X_i=\sum_{i=1}^{ns}X_i$? in quanto dire una somma sugli interi fino a 500 o fino a 500.6 è la stessa cosa (qui immagino che tu hai indicato $$ come l'intero più grande inferiore a $s$, ovvero la parte intera di $s$) e poi fare un piccolo riscalamento?
Si, per questo all'inizio pensavo alla convergenza quasi ovunque.
Ho capito quello che dici però io, per farlo in maniera rigorosa, non posso applicare il teorema del limite centrale a $frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{sn}X_j$, perchè $sn$ in generale non è un intero, e il teorema del limite centrale che io sappia è enunciato su sommatorie fatte su numeri interi, giusto?
Ho capito quello che dici però io, per farlo in maniera rigorosa, non posso applicare il teorema del limite centrale a $frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{sn}X_j$, perchè $sn$ in generale non è un intero, e il teorema del limite centrale che io sappia è enunciato su sommatorie fatte su numeri interi, giusto?
è un falso intero... cioè la somma si arresta alla parte intera del numero. quindi non ci sono problemi, ma se la cosa ti perturba puoi cambiare il coefficiente davanti alla somma: $1/(\sqrt{n})=[\frac{\sqrt{[ns]}}{\sqrt{ns}}\sqrt{s}] 1/(\sqrt{[ns]})$.
A questo punto quanto fa il limite $\lim_n \frac{\sqrt{[ns]}}{\sqrt{ns}}$?
A questo punto quanto fa il limite $\lim_n \frac{\sqrt{[ns]}}{\sqrt{ns}}$?
Ok, grazie mille per la disponibilità.
Ti scrivo quello che ho capito:
$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j)=(\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[ns]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j)(\frac{\sqrt{[ns]}}{\sqrt{ns}}-1)$.
Ora siccome $(\frac{\sqrt{[ns]}}{\sqrt{ns}}-1)$ è una successione numerica che tende a $0$ e siccome per il teorema del limite centrale $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[ns]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j$ converge in distribuzione ad una variabile aleatoria (che è una gaussiana di media $0$ e varianza $s$, anche se sapere a cosa converge in questo passaggio non è fondamentale) per un lemma posso concludere che $(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j)$ converge a $0$ in probabilità.
Questo mi permette di concludere che anche:
$|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j|$ converge a $0$ in probabilità?
Si perchè nella definizione di convergenza in probabilità ho il modulo quindi dovrebbe essere la stessa cosa.
Giusto?
Ti scrivo quello che ho capito:
$(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j)=(\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[ns]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j)(\frac{\sqrt{[ns]}}{\sqrt{ns}}-1)$.
Ora siccome $(\frac{\sqrt{[ns]}}{\sqrt{ns}}-1)$ è una successione numerica che tende a $0$ e siccome per il teorema del limite centrale $\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[ns]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j$ converge in distribuzione ad una variabile aleatoria (che è una gaussiana di media $0$ e varianza $s$, anche se sapere a cosa converge in questo passaggio non è fondamentale) per un lemma posso concludere che $(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j)$ converge a $0$ in probabilità.
Questo mi permette di concludere che anche:
$|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j|$ converge a $0$ in probabilità?
Si perchè nella definizione di convergenza in probabilità ho il modulo quindi dovrebbe essere la stessa cosa.
Giusto?
si direi che va bene.
Il fatto che ti serve sapere che la somma converge a una gaussiana ti serve nel passaggio, in quanto devi sapere che la quantità limite è quantomeno finita: se per caso divergesse non potresti concludere lo stesso risultato o se il limite non esistesse dovresti dire perchè la successione è limitata o qualche altro argomento del genere...
La conclusione è giusta: occhio che dimostri - via TLC - che la convergenza a 0 è il legge, poi devi dire (immagino che lo sai il motivo) perchè vale anche in probabilità.
Il fatto che ti serve sapere che la somma converge a una gaussiana ti serve nel passaggio, in quanto devi sapere che la quantità limite è quantomeno finita: se per caso divergesse non potresti concludere lo stesso risultato o se il limite non esistesse dovresti dire perchè la successione è limitata o qualche altro argomento del genere...
La conclusione è giusta: occhio che dimostri - via TLC - che la convergenza a 0 è il legge, poi devi dire (immagino che lo sai il motivo) perchè vale anche in probabilità.
Grazie ancora,
comunque per concludere che $(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j)$ coverge a $0$ in probabilità uso un lemma che sta nel Billingsley (che mi dice che converge in probabilità e quindi anche in distribuzione perchè sto convergendo a una costante, ma a me in questo caso la convergenza in distribuzione non interessa).
Forse non ho capito l'ultima osservazione?
comunque per concludere che $(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j-\frac{\sqrt{s}}{\sqrt{[sn]}}\sum_{j=1}^{[sn]}X_j)$ coverge a $0$ in probabilità uso un lemma che sta nel Billingsley (che mi dice che converge in probabilità e quindi anche in distribuzione perchè sto convergendo a una costante, ma a me in questo caso la convergenza in distribuzione non interessa).
Forse non ho capito l'ultima osservazione?
col teorema del limite centrale, che è quello che stai usando per dire che una parte di questa cosa converge a una v.a. (normale), hai concluso che tutto va a zero in legge. Grazie a quel lemma concludi che è anche in probabilità. ok.
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