Convergenza in legge di una successione
Ciao a tutti ragazzi,
mi sono bloccato sopra un esercizio sulle convergenze in legge... ho cercato di seguire alcune strade ma mi vengono risultati tutti diversi e non so proprio come risolvere questo esercizio.
Il testo è il seguente:
Sia X una variabile aleatoria assolutamente continua con densità uniforme nell'intervallo (1/2,3/2). Sia \(\displaystyle X_{n}=X^{n} \).
La successione \(\displaystyle (X_{n})_{n} \) converge in legge?
Non so proprio che strada seguire.
Grazie mille.
mi sono bloccato sopra un esercizio sulle convergenze in legge... ho cercato di seguire alcune strade ma mi vengono risultati tutti diversi e non so proprio come risolvere questo esercizio.
Il testo è il seguente:
Sia X una variabile aleatoria assolutamente continua con densità uniforme nell'intervallo (1/2,3/2). Sia \(\displaystyle X_{n}=X^{n} \).
La successione \(\displaystyle (X_{n})_{n} \) converge in legge?
Non so proprio che strada seguire.
Grazie mille.
Risposte
Ho provato a fare questo passaggio:
\(\displaystyle P(X^n0} = F_n(\sqrt[n]{x})\)
quindi mi esce che:
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}<\frac{1}{2}: P(...) = 0 \)
se \(\displaystyle \frac{1}{2}<=\sqrt[n]{x}<\frac{3}{2}: P(...) = \sqrt[n]{x}-\frac{1}{2} \)
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}>=\frac{3}{2}: P(...) = 1 \)
ma non so quanto possa essere giusto (magari è totalmente sbagliato).
\(\displaystyle P(X^n
quindi mi esce che:
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}<\frac{1}{2}: P(...) = 0 \)
se \(\displaystyle \frac{1}{2}<=\sqrt[n]{x}<\frac{3}{2}: P(...) = \sqrt[n]{x}-\frac{1}{2} \)
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}>=\frac{3}{2}: P(...) = 1 \)
ma non so quanto possa essere giusto (magari è totalmente sbagliato).
Per \(\displaystyle F_n \) intendo la funzione di ripartizione della successione... ce la fanno scrivere così in università...
Per il limite mi sorge qualche dubbio nel secondo caso: \(\displaystyle \frac{1}{2}<=\sqrt[n]{x}<\frac{3}{2} \), il limite a \(\displaystyle \infty \) non varrebbe \(\displaystyle \frac{1}{2} \)?
Se così fosse, si avrebbe che a \(\displaystyle \infty \):
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}<\frac{1}{2}: lim P(...) = 0 \)
se \(\displaystyle \frac{1}{2}<=\sqrt[n]{x}<\frac{3}{2}: lim P(...) = \frac{1}{2} \)
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}>=\frac{3/2}: lim P(...) = 1 \)
A questo punto, se tutto è giusto non saprei cosa dire...
(Gli altri modi che ho provato, li ho scritti su un foglio a casa... appena torno li guardo un attimo... uno era considerare ad esempio \(\displaystyle X^n \) come \(\displaystyle X*X*X... \) n volte... però non sono sicuro che siano indipendenti...)
Per il limite mi sorge qualche dubbio nel secondo caso: \(\displaystyle \frac{1}{2}<=\sqrt[n]{x}<\frac{3}{2} \), il limite a \(\displaystyle \infty \) non varrebbe \(\displaystyle \frac{1}{2} \)?
Se così fosse, si avrebbe che a \(\displaystyle \infty \):
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}<\frac{1}{2}: lim P(...) = 0 \)
se \(\displaystyle \frac{1}{2}<=\sqrt[n]{x}<\frac{3}{2}: lim P(...) = \frac{1}{2} \)
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}>=\frac{3/2}: lim P(...) = 1 \)
A questo punto, se tutto è giusto non saprei cosa dire...
(Gli altri modi che ho provato, li ho scritti su un foglio a casa... appena torno li guardo un attimo... uno era considerare ad esempio \(\displaystyle X^n \) come \(\displaystyle X*X*X... \) n volte... però non sono sicuro che siano indipendenti...)
No, non è ammissibile... quindi non converge in legge...
Grazie
Grazie
premesso che la soluzione descritta da @arnett è precisa, vedendo cosa scrivi mi pare tu abbia una certa confusione sull'argomento e quindi ti faccio notare come venga fuori il limite della FdR della successione in oggetto
$lim_(n rarr oo)F_(X_n)(y)={{: ( 0 , ;y<=0 ),( 1/2 , ;y>0 ) :}$
e quindi si vede bene che tale funzione non può essere una distribuzione di probabilità. Non convergendo in Legge, non può convergere nemmeno in Probabilità, in $L^P$, e q.c.
inoltre, dato che questo messaggio, se non erro, lo hai postato tu (in modo indecente) e sono stato costretto a disapprovarlo[nota]nel frattempo ho provveduto a riscriverlo in modo conforme al regolamento[/nota]....potresti provare a risolverlo. E' un esercizio molto semplice ma molto molto istruttivo.
Se mi sbaglio e non lo hai postato tu, poco male...sempre molto istruttivo rimane.....
buon lavoro
$lim_(n rarr oo)F_(X_n)(y)={{: ( 0 , ;y<=0 ),( 1/2 , ;y>0 ) :}$
e quindi si vede bene che tale funzione non può essere una distribuzione di probabilità. Non convergendo in Legge, non può convergere nemmeno in Probabilità, in $L^P$, e q.c.
inoltre, dato che questo messaggio, se non erro, lo hai postato tu (in modo indecente) e sono stato costretto a disapprovarlo[nota]nel frattempo ho provveduto a riscriverlo in modo conforme al regolamento[/nota]....potresti provare a risolverlo. E' un esercizio molto semplice ma molto molto istruttivo.
Se mi sbaglio e non lo hai postato tu, poco male...sempre molto istruttivo rimane.....
buon lavoro
Domandina su un altro modo in cui avevo cercato di risolverlo...
A partire da questo punto:
se dico che è uguale a:
\(\displaystyle 0 \), se \(\displaystyle x < (\frac{1}{2})^n \)
\(\displaystyle \sqrt[n]{x} \), se \(\displaystyle (\frac{1}{2})^n <= x < (\frac{3}{2})^n \)
\(\displaystyle 1 \), se \(\displaystyle x >= (\frac{3}{2})^n \)
poi ne faccio il limite di n tendente a \(\displaystyle \infty \) ed ottengo:
\(\displaystyle 0 \), se \(\displaystyle x < 0 \)
\(\displaystyle \frac{1}{2} \), se \(\displaystyle 0 <= x < \infty \)
Posso concludere allo stesso modo che non converge (sempre che i passaggi fatti siano legittimi) ?
Grazie Mille
A partire da questo punto:
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}<\frac{1}{2}: P(...) = 0 \)
se \(\displaystyle \frac{1}{2}<=\sqrt[n]{x}<\frac{3}{2}: P(...) = \sqrt[n]{x}-\frac{1}{2} \)
se \(\displaystyle \sqrt[n]{x}>=\frac{3}{2}: P(...) = 1 \)
se dico che è uguale a:
\(\displaystyle 0 \), se \(\displaystyle x < (\frac{1}{2})^n \)
\(\displaystyle \sqrt[n]{x} \), se \(\displaystyle (\frac{1}{2})^n <= x < (\frac{3}{2})^n \)
\(\displaystyle 1 \), se \(\displaystyle x >= (\frac{3}{2})^n \)
poi ne faccio il limite di n tendente a \(\displaystyle \infty \) ed ottengo:
\(\displaystyle 0 \), se \(\displaystyle x < 0 \)
\(\displaystyle \frac{1}{2} \), se \(\displaystyle 0 <= x < \infty \)
Posso concludere allo stesso modo che non converge (sempre che i passaggi fatti siano legittimi) ?
Grazie Mille
Scusa @tommik, ma non l'ho letto in tempo... ero intento nel scrivere la mia domandina e non ho più aggiornato la pagina del forum.
Adesso proverò a risolvere quel topic.
Grazie.
Adesso proverò a risolvere quel topic.
Grazie.
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