Convergenza in legge
Siano $X_n$ e $X$ variabili aleatorie a valori nello spazio metrico $(S,d)$.
Si dice che la successione $(X_n)_n$ converge ad $X$ in legge se
$E[f(X_n)] \to E[f(X)]$ per ogni $f:S\to\RR$ continua e limitata.
Ho letto da qualche parte che è equivalente considerare solo le $f$ uniformemente continue e limitate.
Questo risultato mi tornerebbe utile.. E' vero? Sapreste indicarmene una dimostrazione?
Si dice che la successione $(X_n)_n$ converge ad $X$ in legge se
$E[f(X_n)] \to E[f(X)]$ per ogni $f:S\to\RR$ continua e limitata.
Ho letto da qualche parte che è equivalente considerare solo le $f$ uniformemente continue e limitate.
Questo risultato mi tornerebbe utile.. E' vero? Sapreste indicarmene una dimostrazione?
Risposte
non lo conoscevo questo risultato , però penso (così su due piedi, senza provare) che si possa dimostrare con un argomento di approssimazione (usando il fatto che le funzioni continue su un compatto in uno spazio metrico sono uniformemente continue), ti tornerebbe?
http://books.google.it/books?id=Gzjbezr ... &q&f=false
teorema 2.1 pagina 16
Praticamente questo libro inserisce il risultato tra le equivalenze del teorema di Portmanteau.
A me servirebbe però una dimostrazione diretta..
Grazie per il consiglio fu^2. Però è sempre vero che ogni funzione continua è approssimabile con una successione di funzioni continue a supporto compatto? Credo ci sia bisogno di qualche ipotesi in più sullo spazio $(S,d)$
teorema 2.1 pagina 16
Praticamente questo libro inserisce il risultato tra le equivalenze del teorema di Portmanteau.
A me servirebbe però una dimostrazione diretta..
Grazie per il consiglio fu^2. Però è sempre vero che ogni funzione continua è approssimabile con una successione di funzioni continue a supporto compatto? Credo ci sia bisogno di qualche ipotesi in più sullo spazio $(S,d)$
prima di tutto devi intendere cosa vuol dire approssimabile. Nel tuo problema devi cercare (così a prima vista) un'approssimazione in senso L^1 e quindi magari l'idea è trovare una successione di compatti $S_n$ tali che $S_n\subset S_{n+1}$ e $\cup S_n=S$.
A questo punto cosideri una funzione $\phi_n(x)$ che sia continua, con supporto $K_n$ e che $\phi_n(x)=f(x)$ ($f$ è la tua funzione continua e limitata che vuoi approssimare) per $x\in S_n\subset K_n$. Su $K_n$ devi richiedere le stesse condizioni che hai chiesto su $S_n$.
$\phi_n$ dovrebbe farti il servizio voluto. A te la sentenza di confutare questa idea (ricorda che tutte le funzioni che usi hanno valori reali...) e dire se la costruzione di questi insiemi è possibile su ogni spazio metrico.
Oppure, altra strada, potresti lavorare con la norma uniforme (dal momento che usi uno spazio di funzioni limitate) e fare un ragionamento di densità, ma qui penso ti vada male... anzi ne sono abbastanza certo
Provare per credere.
A questo punto cosideri una funzione $\phi_n(x)$ che sia continua, con supporto $K_n$ e che $\phi_n(x)=f(x)$ ($f$ è la tua funzione continua e limitata che vuoi approssimare) per $x\in S_n\subset K_n$. Su $K_n$ devi richiedere le stesse condizioni che hai chiesto su $S_n$.
$\phi_n$ dovrebbe farti il servizio voluto. A te la sentenza di confutare questa idea (ricorda che tutte le funzioni che usi hanno valori reali...) e dire se la costruzione di questi insiemi è possibile su ogni spazio metrico.
Oppure, altra strada, potresti lavorare con la norma uniforme (dal momento che usi uno spazio di funzioni limitate) e fare un ragionamento di densità, ma qui penso ti vada male... anzi ne sono abbastanza certo
Provare per credere.
La mia prima idea infatti era sperare che le funzioni uniformemente continue fossero dense nello spazio delle funzioni continue (con la norma uniforme)... ma mi fai capire che questo in generale è falso, giusto?
In ogni caso penso proprio che il tuo metodo funzioni e ti ringrazio.
In pratica le $\phi_n$ le trovo grazie al lemma di Urysohn (che vale in ogni spazio metrico), tuttavia chi mi garantisce che esista una successione $K_n$ di compatti che crescono fino a coprire tutto $S$? Non ho bisogno che $S$ sia $\sigma$-compatto?
Nel problema che sto affrontando so che $S$ è completo e separabile, ma non so se è $\sigma$-compatto...
In ogni caso penso proprio che il tuo metodo funzioni e ti ringrazio.
In pratica le $\phi_n$ le trovo grazie al lemma di Urysohn (che vale in ogni spazio metrico), tuttavia chi mi garantisce che esista una successione $K_n$ di compatti che crescono fino a coprire tutto $S$? Non ho bisogno che $S$ sia $\sigma$-compatto?
Nel problema che sto affrontando so che $S$ è completo e separabile, ma non so se è $\sigma$-compatto...
"qwertyuio":
La mia prima idea infatti era sperare che le funzioni uniformemente continue fossero dense nello spazio delle funzioni continue (con la norma uniforme)... ma mi fai capire che questo in generale è falso, giusto?
beh penso che puoi dimostrare (non l'ho fatto ma a prima vista mi sembra) che in questa norma lo spazio delle funzioni uniformemente continue è chiuso e quindi non può essere denso (altrimenti dovrebbe coincidere con tutte le funzioni continue e limitate).
"qwertyuio":
In ogni caso penso proprio che il tuo metodo funzioni e ti ringrazio.
In pratica le $\phi_n$ le trovo grazie al lemma di Urysohn (che vale in ogni spazio metrico), tuttavia chi mi garantisce che esista una successione $K_n$ di compatti che crescono fino a coprire tutto $S$? Non ho bisogno che $S$ sia $\sigma$-compatto?
Nel problema che sto affrontando so che $S$ è completo e separabile, ma non so se è $\sigma$-compatto...
mmmh beh si, se prendi come tuo spazio metrico tipo $L^p$ potresti avere problemi
, penso che l'ipotesi che ti serva sia quella di avere uno spazio localmente compatto. Altrimenti devi cambiare strada mi sa...
Lo spazio metrico che devo considerare è uno spazio di grafi, descritto qui topologia-sullo-spazio-dei-grafi-t105682.html . Dunque non è particolamente intuitivo come spazio...
Inserisco l'immagine del teorema di Portmanteau:
http://probability.altervista.org/?p=238
Una dimostrazione diretta è quella di usare il teorema per dimostrare l'asserto come corollario (la cosa più semplice da fare).
Con riferimento all'immagine la logica è: (iii)->(i)->Tesi (Ovvio)
Facciamo l'altra parte: (i)->(vii)->(v)->(vi)->(iii)
Altrimenti si può dimostrare che le funzioni continue e limitate su $R$ sono una classe determinante, ma è più o meno lo stesso approccio, equivale a spostare il problema ad una convergenza di misure invece che di variabili aleatorie.
http://probability.altervista.org/?p=238
Una dimostrazione diretta è quella di usare il teorema per dimostrare l'asserto come corollario (la cosa più semplice da fare).
Con riferimento all'immagine la logica è: (iii)->(i)->Tesi (Ovvio)
Facciamo l'altra parte: (i)->(vii)->(v)->(vi)->(iii)
Altrimenti si può dimostrare che le funzioni continue e limitate su $R$ sono una classe determinante, ma è più o meno lo stesso approccio, equivale a spostare il problema ad una convergenza di misure invece che di variabili aleatorie.
http://www.chalmers.se/math/SV/kontakt/ ... 1359094.85
Qua penso tu possa trovare quello che cerchi. È il teorema 2.16 a pagina 5.
La dimostrazione avviene tramite equivalenze, sarebbe carino trovarne una diretta.
Qua penso tu possa trovare quello che cerchi. È il teorema 2.16 a pagina 5.
La dimostrazione avviene tramite equivalenze, sarebbe carino trovarne una diretta.
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