Convergenza in distribuzione
Ciao a tutti, avrei un esercizio sulla convergenza di sequenze di v.a.
Ecco il testo:
Data una successione di variabili gaussiane indipendenti $X_n\sim N(0; (\sigma^2)^n), n = 0, 1, 2, ...$ e considerata la successione $Y_n =\sum_{i=0}^{n}X_n$ dire per quali valori di $\sigma^2$ le due successioni $X_n$ e $Y_n$ convergono in distribuzione (ovvero in funzione caratteristica).
Parto da $X_n$, la sua funzione caratteristica é $\phi_(Xn) = e^(-1/2t^2\sigma^(2n))$, ora devo vedere per $n->+\infty$ cosa succede al variare di $\sigma^2$; se $\phi_(Xn)$ tende ad una funzione caratteristica allora anche $X_n$ converse in distribuzione.
1) $\sigma^2 = 1$: mi trovo $\phi_(Xn) -> e^(-1/2t^2)$ quindi $X_n\simN(0,1)$
2) $\sigma^2 > 1$: in questo caso l' esponente tende a $-\infty$, quindi $\phi_(Xn) -> 0$ e quindi non c'è convergenza verso una funzione caratteristica
3) $\sigma^2 < 1$ ora l' esponente tende a zero, quindi $\phi_(Xn) -> 1$ da cui $X_n\sim0$ cioè la variabile costante zero.
Per quanto riguarda $Y_n$, e ragionando sempre come funzione caratteristica, mi trovo a dover fare la produttoria delle varie $X_n$, quindi: $\phi_(Yn) = \prod_{i=0}^{n}\phi_{X_i} = exp{-t^2/2\sum_{i=0}^{n}\sigma^(2i)}$ ed estendo il calcolo per $n->+\infty$ mi ritrovo: $\phi_(Yn) = \prod_{i=0}^{n}\phi_{X_i} = exp{-t^2/2\sum_{i=0}^{+\infty}\sigma^(2i)}$
Allora rifacendo i tre casi di prima:
1) $\sigma^2 = 1$: ho che la serie diverge, quindi $\phi_{Yn} -> 0$ e quindi non c'è convergenza
2) $\sigma^2 > 1$: discorso analogo a quello di $\sigma^2 = 1$
3) $\sigma^2 < 1$: ora invece la sommatoria delle $\sigma^2$ è una geometrica che converge ad $1/(1 - \sigma^2)$ quindi $\phi_{Yn} -> e^-(t^2/2 1/(1-\sigma^2))$ ed $Y_n \sim N(0, 1/(1-\sigma^2))$
che ne dite ?
Ecco il testo:
Data una successione di variabili gaussiane indipendenti $X_n\sim N(0; (\sigma^2)^n), n = 0, 1, 2, ...$ e considerata la successione $Y_n =\sum_{i=0}^{n}X_n$ dire per quali valori di $\sigma^2$ le due successioni $X_n$ e $Y_n$ convergono in distribuzione (ovvero in funzione caratteristica).
Parto da $X_n$, la sua funzione caratteristica é $\phi_(Xn) = e^(-1/2t^2\sigma^(2n))$, ora devo vedere per $n->+\infty$ cosa succede al variare di $\sigma^2$; se $\phi_(Xn)$ tende ad una funzione caratteristica allora anche $X_n$ converse in distribuzione.
1) $\sigma^2 = 1$: mi trovo $\phi_(Xn) -> e^(-1/2t^2)$ quindi $X_n\simN(0,1)$
2) $\sigma^2 > 1$: in questo caso l' esponente tende a $-\infty$, quindi $\phi_(Xn) -> 0$ e quindi non c'è convergenza verso una funzione caratteristica
3) $\sigma^2 < 1$ ora l' esponente tende a zero, quindi $\phi_(Xn) -> 1$ da cui $X_n\sim0$ cioè la variabile costante zero.
Per quanto riguarda $Y_n$, e ragionando sempre come funzione caratteristica, mi trovo a dover fare la produttoria delle varie $X_n$, quindi: $\phi_(Yn) = \prod_{i=0}^{n}\phi_{X_i} = exp{-t^2/2\sum_{i=0}^{n}\sigma^(2i)}$ ed estendo il calcolo per $n->+\infty$ mi ritrovo: $\phi_(Yn) = \prod_{i=0}^{n}\phi_{X_i} = exp{-t^2/2\sum_{i=0}^{+\infty}\sigma^(2i)}$
Allora rifacendo i tre casi di prima:
1) $\sigma^2 = 1$: ho che la serie diverge, quindi $\phi_{Yn} -> 0$ e quindi non c'è convergenza
2) $\sigma^2 > 1$: discorso analogo a quello di $\sigma^2 = 1$
3) $\sigma^2 < 1$: ora invece la sommatoria delle $\sigma^2$ è una geometrica che converge ad $1/(1 - \sigma^2)$ quindi $\phi_{Yn} -> e^-(t^2/2 1/(1-\sigma^2))$ ed $Y_n \sim N(0, 1/(1-\sigma^2))$
che ne dite ?
Risposte
"andra_zx":
che ne dite ?
E' tardi e potrei sbagliarmi, ma mi pare che siamo d'accordo
mano male almeno questo va bene!
Si questo va bene.
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