Convergenza di variabili aleatorie

[bartofra]

Salve propongo il seguente esercizio di Probabilità che riguarda converegenza q.c. , in probabilita e in legge e asintotica normalita:

Sia $(Xn)ninN$ una successione di variabili aleatorie, definite sul medesimo spazio di
probabilità $i.i.d.$ continue con densità continua

$f_θ(x) = θ*(1 - x)^{θ-1}1_(0,1)(x)$

ove $θinR$ è un’opportuna costante.

(a) Determinare i possibili valori del parametro $θ$.
(b) Calcolare media e varianza di Xn.

Si considerino ora le successioni di variabili aleatorie:

$Tn=(1-\barX)/\barX$ $Wn=-n/(\sum_{n=0}^\infty\log(1-X_k)$



(c) Studiare convergenza quasi certa, in probabilità e in legge di $Tn$ e $Wn$.
(d) Studiare asintotica normalità e velocità di convergenza di $Tn$ e $Wn$.

Svolgimento:

punto a)$θ>0$ OK! Sapendo che la funzione densità deve essere sempre zero o positiva e l'integrale su R=1

punto b) $ E[Xn] = 1/(1+θ) $ e $ Var(Xn)=θ/((1+θ)^2 * (2+θ)) $
Anche qui non ci sono problemi utilizzando le formule per il calcolo del valore medio e Varianza.

punto c) Utilizzo la Legge dei Grandi Numeri e faccio il $\lim_{n \to \infty}Tn$ essendo $Tn=f(\barXn)$
Trovo $Tn ->θ $ q.c. e quindi anche in prob. e in legge. No problem

Il testo riporta anche $Wn ->θ $ Ma a me questo non viene.

punto d) Utilizzo il metodo Delta.
con Tn, considero la funzione $h=(1-s)/s$ e $(delf)/(delx) = -1/s^2$
Con il metodo Delta ho $Tn=h$
$Tn(\barXn)->Tn(θ)=θ$ $(delTn)/(delx)(1/(1+θ)) = -(1-θ)^2$
siccome $Xn~AN(1/(1+θ) , θ/((1+θ)^2 * (2+θ)))$
Ottengo
$Tn~AN( θ , θ*(1+θ)^2/(n * (2+θ)))$

Anche qui non riesco a svolgere i calcoli per la variabile aleatoria $Wn=-n/(\sum_{n=0}^\infty\log(1-X_k)$

Il testo riporta il risultato $Wn~AN( θ , θ^2/n)$ Ma a me non risulta.

Qualcuno puo darmi una mano?

[Lo_zio_Tom]

"raimond": $Wn=-n/(\sum_{n=0}^\infty\log(1-X_k)$

a parte il fatto che questa cosa che hai scritto non significa nulla (somma con indice n mentre dentro ci hai messo k)

Probabilmente la successione corretta è questa (che poi altro non è che lo stimatore di massima verosimiglianza di $theta$)

$W_n=-n/(sum_(k=1)^n log(1-X_k)$

ora considerando la variabile

$Y=-log(1-X)$

non è difficile verificare che $Y~exp(theta)$ cioè una esponenziale negativa di media $E(Y)=1/theta$

Così è possibilie riscrivere la successione come $W_n=1/bar(Y)_n$

e quindi applicando la legge forte dei grandi numeri ed il Continuous Mapping Theorem si ha subito che $W_n$ converge a.s. a $theta$.

Ora immediatamente con il metodo delta si ha anche che, essendo $g(z)=1/z$,

$W_n dot(~ ) N(theta;1/(n theta^2)theta^4)=N(theta;theta^2/n)$

come richiesto

Anche qui, senza troppi calcoli, una volta riconosciuto che la successione in oggetto è lo stimatore di max verosimiglianza di $theta$, la sua distribuzione asintotica è immediatamente riconoscibile, anche senza disturbare il metodo delta.

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I punti precedenti sono giusti anche se il tutto poteva essere risolto senza molti calcoli. Infatti la densità fornita è quella di una beta:

$X~Be ta(1;theta)$

per cui media e varianza sono note senza calcoli.

Lo stimatore fornito, del resto, è lo stimatore di $theta$ con il metodo dei momenti...e quindi quasi immediatamente hai anche la sua distribuzione asintotica.

[bartofra]

Grazie veramente tanto tommik, ho sbagliato a scrivere, n anzichè k, inoltre infinito anziche n

Non so se ho gia visto la distribuzione Beta

Per quanto riguarda lo stimatore di massima somiglianza, non lo ricordo, o forse era gia stato fatto in Statistica...

Devo verificare un po di cose

Grazie ancora

[bartofra]

Se pongo $Y=-log(1-X)$ dalla funzione densità $f_θ(x) = θ*(1 - x)^{θ-1}1_(0,1)(x)$ , integrando e

ponendo l'integrale =1 ricavo $Y=θ$ , ma non mi è chiaro come fai a dire che $Y~exp(θ)$

[Lo_zio_Tom]

Un noto teorema piuttosto importante in Statistica, detto "Teorema Fondamentale di Trasformazione" afferma che se la funzione di trasformazione $Y=g(X)$ è monotona si può ricavare direttamente la densità di $Y$ tramite la formula

$f_Y(y)=f_X(g^(-1)(y))|d/(dy)g^(-1)(y)|$

Nel tuo caso hai

$y=-log(1-x)$

da cui

$x=1-e^(-y)$

$x'=e^(-y)$

e quindi

$f_Y(y)=theta(1-1+e^(-y))^(theta-1)e^(-y)=theta e^(-theta y)$

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Tornando sull'argomento, vorrei sottolieare che per trovare la distribuzione asintotica di $W_n$, una volta capito che tale successione è lo stimatore di Max Verosimiglianza di $theta$, è sufficiente applicare una nota proprietà di tali stimatori secondo la quale essi sono asintoticamente normali di media $theta$ e varianza $1/(I_n(theta))$ dove $I_n(theta)$ è l'informazione di Fischer.

Ho risolto la cosa diversamente solo per seguire lo stesso ragionamento che hai fatto tu ma questa è la mia prima scelta.

[bartofra]

Grazie molte.