Convergenza di una successione di v.a. indipendenti
Ho trovato un esercizio che propongo. La traccia è molto semplice:
Sia [tex]\{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] una successione di v.a. unidimensionali e indipendenti. Detto [tex]E=\{\omega\colon X_n(\omega)\ \text{è convergente}\}[/tex], dimostrare che [tex]P(E)=0[/tex] oppure [tex]P(E)=1[/tex].
Non ho la soluzione. Ho pensato ad una dimostrazione, basata sul fatto che [tex]$\prod_{n=1}^\infty a_n\ \text{converge} \Rightarrow \lim_{n\to \infty}a_n=1[/tex] (l'analogo della condizione necessaria alla convergenza per le serie numeriche), ma c'è qualche punto che ancora non mi convince. Se a qualcuno viene qualche idea...
Sia [tex]\{X_n\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] una successione di v.a. unidimensionali e indipendenti. Detto [tex]E=\{\omega\colon X_n(\omega)\ \text{è convergente}\}[/tex], dimostrare che [tex]P(E)=0[/tex] oppure [tex]P(E)=1[/tex].
Non ho la soluzione. Ho pensato ad una dimostrazione, basata sul fatto che [tex]$\prod_{n=1}^\infty a_n\ \text{converge} \Rightarrow \lim_{n\to \infty}a_n=1[/tex] (l'analogo della condizione necessaria alla convergenza per le serie numeriche), ma c'è qualche punto che ancora non mi convince. Se a qualcuno viene qualche idea...
Risposte
una strada che seguirei per la sluzione dell'esercizio è l'utilizzo diretto della "legge [tex]0,1[/tex]", dal sapore molto probabilistico e "poco" analitico.
Ovvero se consideriamo una successione di v.a. [tex](X_n)_n[/tex] indipendenti, con [tex]X_n:(\Omega,\Sigma_1, P)\to (F,\Sigma_2)[/tex], Possiamo definire [tex]C_n=\sigma\{X_{_n+1},X_{n+2},...\}[/tex] e considerare [tex]C=\displaystyle\cap_{n=1}^{+\infty} C_n[/tex]. Allora per ogni [tex]A\in C[/tex] si ha che [tex]P(A)=0[/tex] o [tex]P(A)=1[/tex].
Si conclude osservando che [tex]E=\{\exists \lim_n X_n\}\in C[/tex].
Ovvero se consideriamo una successione di v.a. [tex](X_n)_n[/tex] indipendenti, con [tex]X_n:(\Omega,\Sigma_1, P)\to (F,\Sigma_2)[/tex], Possiamo definire [tex]C_n=\sigma\{X_{_n+1},X_{n+2},...\}[/tex] e considerare [tex]C=\displaystyle\cap_{n=1}^{+\infty} C_n[/tex]. Allora per ogni [tex]A\in C[/tex] si ha che [tex]P(A)=0[/tex] o [tex]P(A)=1[/tex].
Si conclude osservando che [tex]E=\{\exists \lim_n X_n\}\in C[/tex].
Ciao fu! Senti, io purtroppo non conosco questa formulazione della "legge 0-1" (*): potresti specificare cosa intendi con [tex]\sigma\{X_{n+1}, X_{n+2}, \ldots \}[/tex]?
è la [tex]\sigma[/tex]-algebra generata delle v.a. [tex]X_{n+1},X_{n+2},...[/tex] ovvero la più piccola [tex]\sigma[/tex]-algebra che rende tali v.a. misurabili.
Dal momento che le v.a. sono indipendenti tra loro per hp, avrai che [tex]\sigma\{X_1,...,X_n\}[/tex] e [tex]\sigma\{X_{n+1},...\}[/tex] sono indipendenti tra loro, secondo la definizione classica di indipendenza tra sigma-algebre.
Dal momento che le v.a. sono indipendenti tra loro per hp, avrai che [tex]\sigma\{X_1,...,X_n\}[/tex] e [tex]\sigma\{X_{n+1},...\}[/tex] sono indipendenti tra loro, secondo la definizione classica di indipendenza tra sigma-algebre.
"indipendenza tra [tex]\sigma[/tex]-algebre"=...? 
Ecco perché non riuscivo a seguirti, stai facendo uso di risultati che, purtroppo, proprio non conosco. Peccato, vedo che tu lo hai risolto in due righe!
Io invece puntavo la dimostrazione sul riscrivere [tex]E[/tex] come
[tex]$E=\bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{k=N}^\infty \{ \lvert X_N-X_k \rvert < \frac{1}{m} \}[/tex]
e, quindi, l'evento complementare come
[tex]$E^C=\bigcup_{m=1}^\infty \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty \{ \lvert X_N-X_k \rvert \ge \frac{1}{m} \}[/tex]
per ogni [tex]m[/tex] fissato, l'evento [tex]\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty \{ \lvert X_N-X_k \rvert \ge \frac{1}{m} \}[/tex] è una cosa di tipo "per infiniti indici, si verifica questa condizione" e quindi pensavo di applicare un ragionamento analogo a quello della legge 0-1 di Borel-Cantelli, che io conosco con questo enunciato:
Ecco perché non riuscivo a seguirti, stai facendo uso di risultati che, purtroppo, proprio non conosco. Peccato, vedo che tu lo hai risolto in due righe!
Io invece puntavo la dimostrazione sul riscrivere [tex]E[/tex] come
[tex]$E=\bigcap_{m=1}^\infty \bigcup_{N=1}^\infty \bigcap_{k=N}^\infty \{ \lvert X_N-X_k \rvert < \frac{1}{m} \}[/tex]
e, quindi, l'evento complementare come
[tex]$E^C=\bigcup_{m=1}^\infty \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty \{ \lvert X_N-X_k \rvert \ge \frac{1}{m} \}[/tex]
per ogni [tex]m[/tex] fissato, l'evento [tex]\bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty \{ \lvert X_N-X_k \rvert \ge \frac{1}{m} \}[/tex] è una cosa di tipo "per infiniti indici, si verifica questa condizione" e quindi pensavo di applicare un ragionamento analogo a quello della legge 0-1 di Borel-Cantelli, che io conosco con questo enunciato:
- Teorema (Legge 0-1 di Borel-Cantelli)
Sia [tex]A_1, A_2, \ldots[/tex] una successione di eventi.
1) Se [tex]$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) < \infty[/tex] allora [tex]$P \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty A_n=0[/tex] (quasi sicuramente si verifica al più un numero finito di eventi [tex]A_n[/tex])
2) Se gli eventi sono indipendenti e [tex]$\sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \infty[/tex] allora [tex]$P \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty A_n=1[/tex] (quasi sicuramente si verifica un numero infinito di eventi).
In particolare [tex]$P \bigcap_{N=1}^\infty \bigcup_{k=N}^\infty A_n[/tex] è uguale a 0 oppure a 1. [/list:u:1pt76mht]
Ecco, questa era l'idea. Metterla in pratica però è una parola!!!
Se va avanti così lascio perdere.
guarda se ti interessa ti dico la definizione di indipendenza di [tex]\sigma[/tex]-algebre, con questa nozione penso che la dimostrazione riesci a seguirla.
Se ti interessa la probabilità questa parte ti consiglio di vedertela bene che spesso negli esercizi o quant'altro sveltisce i conti
...
definizione: Sia [tex](\Omega,\mathcal{F},P)[/tex] uno spazio probabilizzato, siano [tex]\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2\subset\mathcal{F}[/tex]. Dico che [tex]\mathcal{F}_1[/tex] è indipendente da [tex]\mathcal{F}_2[/tex] se per ogni scelta di [tex]A_i\in \mathcal{F}_i[/tex], con [tex]i=1,2[/tex] si ha che [tex]P(A_1,A_2)=P(A_1)P(A_2)[/tex]
(in generale questa definizione la puoi estendere a una qualsiasi famiglia numerabile di sottocalssi di [tex]\mathcal{F}[/tex] richiedendo che la "fattorizzazione" degli eventi sia vera per ogni scelta finita di essi nella famiglia delle sottoclassi.
mentre richiamo la definizione di [tex]\sigma[/tex]-algebra generata da delle v.a.
definizione: Siano [tex]X_n:(\Omega,\mathcal{F},P)\to (G,\mathcal{G})[/tex] una successione di v.a., allora poniamo [tex]\sigma\{X_n,...\}=\{\{X_i\in B_i\}_{i=n,n+1,...}|B_i\in\mathcal{G}\}[/tex], cioè la più piccola [tex]\sigma[/tex]-algebra che rende le v.a. misurabili.
è facile vedere che se la sequenza di v.a. è composta da elementi tutti indipendenti tra loro, allora [tex]\sigma\{X_1,...,X_n\}[/tex] e [tex]\sigma\{X_{n+1},...\}[/tex] sono due [tex]\sigma[/tex]-algebre indipendenti.
Se ti interessa la probabilità questa parte ti consiglio di vedertela bene che spesso negli esercizi o quant'altro sveltisce i conti
...definizione: Sia [tex](\Omega,\mathcal{F},P)[/tex] uno spazio probabilizzato, siano [tex]\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2\subset\mathcal{F}[/tex]. Dico che [tex]\mathcal{F}_1[/tex] è indipendente da [tex]\mathcal{F}_2[/tex] se per ogni scelta di [tex]A_i\in \mathcal{F}_i[/tex], con [tex]i=1,2[/tex] si ha che [tex]P(A_1,A_2)=P(A_1)P(A_2)[/tex]
(in generale questa definizione la puoi estendere a una qualsiasi famiglia numerabile di sottocalssi di [tex]\mathcal{F}[/tex] richiedendo che la "fattorizzazione" degli eventi sia vera per ogni scelta finita di essi nella famiglia delle sottoclassi.
mentre richiamo la definizione di [tex]\sigma[/tex]-algebra generata da delle v.a.
definizione: Siano [tex]X_n:(\Omega,\mathcal{F},P)\to (G,\mathcal{G})[/tex] una successione di v.a., allora poniamo [tex]\sigma\{X_n,...\}=\{\{X_i\in B_i\}_{i=n,n+1,...}|B_i\in\mathcal{G}\}[/tex], cioè la più piccola [tex]\sigma[/tex]-algebra che rende le v.a. misurabili.
è facile vedere che se la sequenza di v.a. è composta da elementi tutti indipendenti tra loro, allora [tex]\sigma\{X_1,...,X_n\}[/tex] e [tex]\sigma\{X_{n+1},...\}[/tex] sono due [tex]\sigma[/tex]-algebre indipendenti.
Ah quindi è proprio una generalizzazione pari pari del concetto di "indipendenza di eventi" alle [tex]\sigma[/tex]-algebre di eventi. Interessante. Ma fammi capire bene, l'enunciato della "legge 0-1" a cui ti riferisci è:
Sia [tex]\{C_1, C_2 \ldots \}[/tex] una successione di [tex]\sigma[/tex]-algebre indipendenti e sia [tex]$C=\bigcap_{n=1}^\infty C_n[/tex]. Allora ogni evento contenuto in [tex]C[/tex] ha probabilità 0 oppure probabilità 1.
E' così?
Sia [tex]\{C_1, C_2 \ldots \}[/tex] una successione di [tex]\sigma[/tex]-algebre indipendenti e sia [tex]$C=\bigcap_{n=1}^\infty C_n[/tex]. Allora ogni evento contenuto in [tex]C[/tex] ha probabilità 0 oppure probabilità 1.
E' così?
in un certo senso si, se metti delle opportune condizioni affinchè [tex]\displaystyle\bigcap_{n=1}^{+\infty}C_n\neq\emptyset[/tex].
Purtroppo, Così a occhio non penso che basti questo... infatti ti serve creare una struttura duale che ti (rifacendomi alla dimostrazione proposta da me nel primo post) permette di poter considerare le due successioni di [tex]\sigma[/tex]-algebre [tex](\sigma\{X_1,...,X_n\})_{n\geq 1}[/tex] e [tex](\sigma\{X_n,..\})_{n\geq 1}[/tex]. La prima è crescente, la seconda decrescente (nel senso delle inclusioni) e ognuna di queste proprietà è usata pesantemente nella dimostrazione.
Altre piccole osservazioni:
Questo fatto (la dualità) viene naturale se consideri le successioni di v.a., in quanto queste due strutture le costruisci a mano... In generale considerando famiglie [tex]C_n[/tex], puoi definire comunque la loro intersezione sotto opportune ipotesi, ma la tesi è falsa in quanto la [tex]\sigma[/tex]-algebra che consideri nella dimostrazione ([tex]K[/tex]) non funziona più così bene come nel caso dele v.a. anche perchè in generale è mal definita, infatti se usi le v.a. [tex]\sigma\{X_1,...\}=\displaystyle\cup_{n=1}^{+\infty}\sigma\{X_1,...,X_n\}[/tex], ma in generale questo oggetto è mal definito in quanto l'unione numerabile (anche se monotona) di [tex]\sigma[/tex]-algebre non è una [tex]\sigma[/tex]-algebra!!!!...
dovresti provare a usare un'altra dimostrazione, anche se le altre che ho visto usano alla fin della fiera le stesse idee di quella che ti ho proposto io (cioè io non ne conosco altre che si basano su altre idee, per questo penso che la conclusione sia falsa... su due piedi non mi sovviene un controesempio, devo pensarci un attimo.), oppure aggiungere una quantità tale di ipotesi che diventa inutile... e considerare solo il caso in cui l'ho enunciato io.
ps: se può aiutarti a cercare e approfondire l'argomento, questa versione della legge 0,1 è dovuta a Kolmogorov.
Spero di non aver detto troppe cavolate e di averti chiarito la mia visione
A presto
Purtroppo, Così a occhio non penso che basti questo... infatti ti serve creare una struttura duale che ti (rifacendomi alla dimostrazione proposta da me nel primo post) permette di poter considerare le due successioni di [tex]\sigma[/tex]-algebre [tex](\sigma\{X_1,...,X_n\})_{n\geq 1}[/tex] e [tex](\sigma\{X_n,..\})_{n\geq 1}[/tex]. La prima è crescente, la seconda decrescente (nel senso delle inclusioni) e ognuna di queste proprietà è usata pesantemente nella dimostrazione.
Altre piccole osservazioni:
Questo fatto (la dualità) viene naturale se consideri le successioni di v.a., in quanto queste due strutture le costruisci a mano... In generale considerando famiglie [tex]C_n[/tex], puoi definire comunque la loro intersezione sotto opportune ipotesi, ma la tesi è falsa in quanto la [tex]\sigma[/tex]-algebra che consideri nella dimostrazione ([tex]K[/tex]) non funziona più così bene come nel caso dele v.a. anche perchè in generale è mal definita, infatti se usi le v.a. [tex]\sigma\{X_1,...\}=\displaystyle\cup_{n=1}^{+\infty}\sigma\{X_1,...,X_n\}[/tex], ma in generale questo oggetto è mal definito in quanto l'unione numerabile (anche se monotona) di [tex]\sigma[/tex]-algebre non è una [tex]\sigma[/tex]-algebra!!!!...
dovresti provare a usare un'altra dimostrazione, anche se le altre che ho visto usano alla fin della fiera le stesse idee di quella che ti ho proposto io (cioè io non ne conosco altre che si basano su altre idee, per questo penso che la conclusione sia falsa... su due piedi non mi sovviene un controesempio, devo pensarci un attimo.), oppure aggiungere una quantità tale di ipotesi che diventa inutile... e considerare solo il caso in cui l'ho enunciato io.
ps: se può aiutarti a cercare e approfondire l'argomento, questa versione della legge 0,1 è dovuta a Kolmogorov.
Spero di non aver detto troppe cavolate e di averti chiarito la mia visione
A presto
Si, si, ho capito a grandi linee. Dovrò approfondire, purtroppo però non è adesso il momento 
. Mi lasci qualche riferimento bibliografico, se ce l'hai, su questo argomento?
. Mi lasci qualche riferimento bibliografico, se ce l'hai, su questo argomento?
puoi trovare fatti bene questi argomenti su
A.N. Shiryaev, Probability
D. Williams, Probability with martingales
(ovviamente trovi il teorema nel sapore proposto sopra cercando direttamente nell'indice analitico di entrambi i libri)
ciao!
A.N. Shiryaev, Probability
D. Williams, Probability with martingales
(ovviamente trovi il teorema nel sapore proposto sopra cercando direttamente nell'indice analitico di entrambi i libri)
ciao!
Shiryaev... Proprio quello che temevo!!! 
Grazie fu!
Grazie fu!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo