Convergenza di Poisson

[michele.0812]

Ragazzi vi propongo un esercizio sulla convergenza in probabilità di una successione:
Sia Xn una successione di variabili aleatorie indipendenti distribuite come Pois di parametro n, determinare la convergenza della variabile Yn=(X1+X2+....+Xn)/n^2

Io ho considerato il fatto che la somma di pois da una pois avente come parametro la somma dei parametri, ma purtroppo non mi viene una serie calcolabile... Dovrebbe convergere a 1/2! Qualcuno sa risolverlo?

[cooper1]

provavo a fare questo esercizio sulla convergenza ma il risultato di $1/2$ non mi convince. per studiare la convergenza comincio con il calcolare la funzione caratteristica di $Y_n$ e quindi:
$\varphi_(Y_n)=\varphi_(sum_i X_i)(t/n^2)=\prod_(i=1)^(n)\varphi_(X_1)(t/n^2)=exp[n^2(e^((it)/n^2-1))]$
questa quando $n->+oo$ converge a $e^(it)$ che è la funzione caratteristica di una variabile aleatoria $Y-=1$ e quindi per il teorema di continuità di Lévy concludo che $Y_n \stackrel\(mathcal(L))rarr 1$
poichè poi 1 è una costante la convergenza è anche in probabilità.
sfruttando la LGN sappiamo che $(sum_i X_i)/n \stackrel\(L^2,q.c.)rarr E(X_i)=n $ quindi otteniamo $Y_n \stackrel\(L^2,q.c.)rarr 1$
non mi spiego dunque quel risultato di 1/2.
voi che ne pensate?

[Lo_zio_Tom]

L'avevo già visto tempo fa e mi venivano esattamente i tuoi risultati

[cooper1]

grazie per la risposta