Controllo esercizio estrazione da urna di composizione nota
Vorrei avere una conferma sul corretto svolgimento del seguente esercizio.
Testo:
Da un urna $A$ che contiene $7$ palline bianche e $3$ palline nere si estraggono $5$ palline con reimbussolamento. Si $X$ il numero aleatorio "numero di palline bianche estratte da $A$". Successivamente, in una seconda urna indicata $B$ ed inizialmente vuota, vengono inserite X palline bianche e $(5 - X)$ nere e infine viene effettuata da $B$ una sola estrazione.
a) Calcolare la previsione di $X$.
b) Calcolare la probabilità $p$ di estrarre da $B$ una pallina bianca.
Io ho calcolato la probabilità di ogni possibile estrazione, ovvero $5$ nere, $4$ nere e $1$ bianca.
Si tratta di una semplice binomiale ed ho ottenuto i seguenti risultati:
$(\sum_{k=0}^5 ((n),(k))(7/10)^k(3/10)^(n-k))$.
Poi ho calcolato la previsione di $X$ in questo modo $ 0*3^5/10^5 +7/2*3^4/10^4 + 2*7^2*3^3/10^4 + 3*7^3*3^2/10^4 + 4*3/2*7^4/10^4 + 5*5^5/10^5 $. Al di là dei calcoli corretti, il procedimento è quello giusto per calcolare la previsione? Ho moltiplicato la probabilità di ogni possibile estrazione per in suo peso.
Ho ottenuto $35/10$ come previsione di $X$.
Di conseguenza nell'urna $B$ una composizione di $35/10$ di palline bianche e $15/10$ di palline nere.
Per calcolare $p$ ho semplicemente fatto $(casi favorevoli)/(casi totali) = (35/10)/(50/10) = 7/10 $.
E' corretto il tutto?
Grazie a tutti per le vostre eventuali risposte.
L.
Testo:
Da un urna $A$ che contiene $7$ palline bianche e $3$ palline nere si estraggono $5$ palline con reimbussolamento. Si $X$ il numero aleatorio "numero di palline bianche estratte da $A$". Successivamente, in una seconda urna indicata $B$ ed inizialmente vuota, vengono inserite X palline bianche e $(5 - X)$ nere e infine viene effettuata da $B$ una sola estrazione.
a) Calcolare la previsione di $X$.
b) Calcolare la probabilità $p$ di estrarre da $B$ una pallina bianca.
Io ho calcolato la probabilità di ogni possibile estrazione, ovvero $5$ nere, $4$ nere e $1$ bianca.
Si tratta di una semplice binomiale ed ho ottenuto i seguenti risultati:
$(\sum_{k=0}^5 ((n),(k))(7/10)^k(3/10)^(n-k))$.
Poi ho calcolato la previsione di $X$ in questo modo $ 0*3^5/10^5 +7/2*3^4/10^4 + 2*7^2*3^3/10^4 + 3*7^3*3^2/10^4 + 4*3/2*7^4/10^4 + 5*5^5/10^5 $. Al di là dei calcoli corretti, il procedimento è quello giusto per calcolare la previsione? Ho moltiplicato la probabilità di ogni possibile estrazione per in suo peso.
Ho ottenuto $35/10$ come previsione di $X$.
Di conseguenza nell'urna $B$ una composizione di $35/10$ di palline bianche e $15/10$ di palline nere.
Per calcolare $p$ ho semplicemente fatto $(casi favorevoli)/(casi totali) = (35/10)/(50/10) = 7/10 $.
E' corretto il tutto?
Grazie a tutti per le vostre eventuali risposte.
L.
Risposte
Come hai giustamente osservato X è distribuita come una binomiale di parametri $n=5$ e $p=7/10$.
E' noto che il valore atteso per la binomiale vale $E(X)=n*p=5*7/10=3.5$
(così risparmiavi un po' di conti
)
Per la seconda domanda mi trovo col risultato, anche se avrei ragionato diversamente.
Nell'urna B ci sono 5 palline di cui $X=k$ palline bianche con $k in {0,1,2,3,4,5}$ e $p(X=k)$ quella della precedente binomiale.
La probabilità che estraendo una pallina questa sia bianca dipende dalla composizione dell'urna.
La prob. di estrarre una bianca sarà il rapporto tra il numero delle bianche (k) e il totale delle palline (5).
Applicando la probabilità totale:
$P("estraggo una bianca")=\sum_{k=0}^{5}P("bianca"|X=k)*P(X=k)=\sum_{k=0}^{5}k/5*P(X=k)=1/5*\sum_{k=0}^{5}k*P(X=k)=1/5*E(x)=0.7$
E' noto che il valore atteso per la binomiale vale $E(X)=n*p=5*7/10=3.5$
(così risparmiavi un po' di conti
)Per la seconda domanda mi trovo col risultato, anche se avrei ragionato diversamente.
Nell'urna B ci sono 5 palline di cui $X=k$ palline bianche con $k in {0,1,2,3,4,5}$ e $p(X=k)$ quella della precedente binomiale.
La probabilità che estraendo una pallina questa sia bianca dipende dalla composizione dell'urna.
La prob. di estrarre una bianca sarà il rapporto tra il numero delle bianche (k) e il totale delle palline (5).
Applicando la probabilità totale:
$P("estraggo una bianca")=\sum_{k=0}^{5}P("bianca"|X=k)*P(X=k)=\sum_{k=0}^{5}k/5*P(X=k)=1/5*\sum_{k=0}^{5}k*P(X=k)=1/5*E(x)=0.7$
"cenzo":
Come hai giustamente osservato X è distribuita come una binomiale di parametri $n=5$ e $p=7/10$.
E' noto che il valore atteso per la binomiale vale $E(X)=n*p=5*7/10=3.5$
(così risparmiavi un po' di conti
Direi che mi risparmiavo un bel po' di calcoli, e anche una marea di possibilità di sbagliare qualche conto.
"cenzo":
Per la seconda domanda mi trovo col risultato, anche se avrei ragionato diversamente.
Nell'urna B ci sono 5 palline di cui $X=k$ palline bianche con $k in {0,1,2,3,4,5}$ e $p(X=k)$ quella della precedente binomiale.
La probabilità che estraendo una pallina questa sia bianca dipende dalla composizione dell'urna.
La prob. di estrarre una bianca sarà il rapporto tra il numero delle bianche (k) e il totale delle palline (5).
Applicando la probabilità totale:
$P("estraggo una bianca")=\sum_{k=0}^{5}P("bianca"|X=k)*P(X=k)=\sum_{k=0}^{5}k/5*P(X=k)=1/5*\sum_{k=0}^{5}k*P(X=k)=1/5*E(x)=0.7$
Bè, anche io ho fatto il rapporto fra casi favorevoli e palline totali. Mi sembra lo stesso calcolo, solo che il tuo è fatto in maniera più rigorosa e formale, o no?
"lezan":
Bè, anche io ho fatto il rapporto fra casi favorevoli e palline totali. Mi sembra lo stesso calcolo, solo che il tuo è fatto in maniera più rigorosa e formale, o no?
Nel tuo conto hai considerato una composizione dell'urna "media", con $3.5$ bianche e $1.5$ nere.
Non è una composizione "reale" in quanto hai un numero non intero di palline.
Nel mio procedimento ho tenuto conto delle varie possibili composizioni dlel'urna e della prob. di estrarre una bianca in ciascuno dei 6 casi possibili. Però alla fine, come hai visto, è la stessa cosa, per lo meno in questo caso.
"cenzo":
[quote="lezan"]Bè, anche io ho fatto il rapporto fra casi favorevoli e palline totali. Mi sembra lo stesso calcolo, solo che il tuo è fatto in maniera più rigorosa e formale, o no?
Nel tuo conto hai considerato una composizione dell'urna "media", con $3.5$ bianche e $1.5$ nere.
Non è una composizione "reale" in quanto hai un numero non intero di palline.
Nel mio procedimento ho tenuto conto delle varie possibili composizioni dlel'urna e della prob. di estrarre una bianca in ciascuno dei 6 casi possibili. Però alla fine, come hai visto, è la stessa cosa, per lo meno in questo caso.
[/quote]Hai ragione, allora meglio che mi riguardo il metodo da te applicato!
Grazie @cenzo per tutte le tue risposte.
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