Continuità della probabilità
Buonasera a tutti, qualcuno riesce ad aiutarmi con questa semplice dimostrazione? Ne cerco una "elegante" visto che è una delle poche dimostrazioni che devo conoscere:
Sia $(\Omega, P)$ uno spazio di probabilità. Per ogni successione $(A_n)_(n>=1)$ di eventi tali che $A_(n+1)subeA_n AA n>=1$ , si ha: $\lim_{n \to \infty}P(A_n) = P(nnn_{n=1}^(+\infty) A_n)$
Mi basta anche un link in cui è scritta, io non ne ho trovati (forse perchè è molto facile dimostrarla)
Sia $(\Omega, P)$ uno spazio di probabilità. Per ogni successione $(A_n)_(n>=1)$ di eventi tali che $A_(n+1)subeA_n AA n>=1$ , si ha: $\lim_{n \to \infty}P(A_n) = P(nnn_{n=1}^(+\infty) A_n)$
Mi basta anche un link in cui è scritta, io non ne ho trovati (forse perchè è molto facile dimostrarla)
Risposte
Ciao!
Questo segue immediatamente da un altro fatto nel contesto della probabilità, ossia:
sia $(Omega,F,P)$ uno spazio di probabilità e ${A_n}_(n in NN)subsetF$ una successione crescente di insiemi, allora
segue direttamente da questo fatto poiché se ${A_n}_(n in NN)subsetF$ è una successione decrescente di insiemi allora ${A_n^c}$ è una successione crescente pertanto
quindi ti basta dimostrare la prima che si fa nel seguente modo
presa una successione ${A_n}_(n in NN)$ crescente definiamo $E_n={(A_nsetminusA_(n-1) if n>0),(A_0 if n=0):}$
puoi dimostrare che $bigcup_(n=1)^(+infty)E_n=bigcup_(n=1)^(+infty)A_n$ e che gli $E_n$ sono a due a due disgiunti.
a questo punto $P(bigcup_(n=0)^(+infty)A_n)=P(bigcup_(n=0)^(+infty)E_n)=sum_(n=0)^(+infty)P(E_n)=P(A_0)+sum_(n=1)^(+infty)[P(A_n)-P(A_(n-1))]$
la serie è telescopica e quindi rimane alla fine $lim_(n->+infty)P(A_n)$
Per allenamento potresti completare tutti dettagli che ho reso 'sottintesi' nella dimostrazione.
Queste cose inoltre possono essere generalizzate a spazi misura qualsiasi
Questo segue immediatamente da un altro fatto nel contesto della probabilità, ossia:
sia $(Omega,F,P)$ uno spazio di probabilità e ${A_n}_(n in NN)subsetF$ una successione crescente di insiemi, allora
$lim_(n->+infty)P(A_n)=P(bigcup_(n=1)^(+infty)A_n)$
segue direttamente da questo fatto poiché se ${A_n}_(n in NN)subsetF$ è una successione decrescente di insiemi allora ${A_n^c}$ è una successione crescente pertanto
[size=92]$lim_(n->+infty)P(A_n)=1-lim_(n->+infty)P(A_n^c)=1-P(bigcup_(n=1)^(+infty)A_n^c)=1-[1-P(bigcap_(n=1)^(+infty)A_n)]=P(bigcap_(n=1)^(+infty)A_n)$[/size]
quindi ti basta dimostrare la prima che si fa nel seguente modo
presa una successione ${A_n}_(n in NN)$ crescente definiamo $E_n={(A_nsetminusA_(n-1) if n>0),(A_0 if n=0):}$
puoi dimostrare che $bigcup_(n=1)^(+infty)E_n=bigcup_(n=1)^(+infty)A_n$ e che gli $E_n$ sono a due a due disgiunti.
a questo punto $P(bigcup_(n=0)^(+infty)A_n)=P(bigcup_(n=0)^(+infty)E_n)=sum_(n=0)^(+infty)P(E_n)=P(A_0)+sum_(n=1)^(+infty)[P(A_n)-P(A_(n-1))]$
la serie è telescopica e quindi rimane alla fine $lim_(n->+infty)P(A_n)$
Per allenamento potresti completare tutti dettagli che ho reso 'sottintesi' nella dimostrazione.
Queste cose inoltre possono essere generalizzate a spazi misura qualsiasi
Grazie, mi è servita al compitino alla fine ahah
"anti-spells":
Grazie, mi è servita al compitino alla fine ahah
ci vedo davvero poco da ridere....tengo presente in caso di future eventuali richieste.
Spero tu non l’abbia copiata all’esame...
Ragazzi state tranquilli..., ho messo il link alle 6:30 di sera con il latex perfetto e mi hai risposto alle 20:12, pensate sia possibile che abbia un esame alle 20:30 di sera?
Il compitino era oggi pomeriggio, ho imparato la dimostrazione di anto che mi è servita per un esercizio, tutto qua.
@tommik tu ti scaldi davvero per troppo poco
Il compitino era oggi pomeriggio, ho imparato la dimostrazione di anto che mi è servita per un esercizio, tutto qua.
@tommik tu ti scaldi davvero per troppo poco
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo