Contare le coppie ordinate

[Injo]

Siano [tex]0 \leq \lambda < \mu \leq L[/tex] con [tex]L[/tex] fissato. Devo contare quante sono le coppie [tex](\lambda,\mu)[/tex].

Con tutta la mia ruggine ho ragionato in questo modo:
- Se [tex]\mu=L[/tex], allora [tex]\lambda\in\{0,...,L-1\}[/tex] ovvero vi sono [tex]L[/tex] valori possibili per [tex]\lambda[/tex].
- Se [tex]\mu=L-1[/tex], allora [tex]\lambda\in\{0,...,L-2\}[/tex] ovvero vi sono [tex]L[/tex] valori possibili per [tex]\lambda[/tex].
...
- Se [tex]\mu=2[/tex], allora [tex]\lambda\in\{0,1\}[/tex] ovvero vi sono [tex]2[/tex] valori possibili per [tex]\lambda[/tex].
- Se [tex]\mu=1[/tex], allora [tex]\lambda=0[/tex] ovvero vi è solo un valore possibile per [tex]\lambda[/tex].
Così le combinazioni possibili risultano essere [tex]L(L-1)\cdot\dots\cdot2\cdot 1=L![/tex].

La cosa però non mi convince. Se penso alle coppie generiche su [tex]L[/tex] elementi queste sono [tex]L^2[/tex]. Le coppie da me considerate sono un sottoinsieme di tutte le coppie eppure risultano essere [tex]L![/tex] che è [tex]L!>L^2[/tex].

Aiuto

[cenzo1]

"Injo":Così le combinazioni possibili risultano essere [tex]L(L-1)\cdot\dots\cdot2\cdot 1=L![/tex].

Dovrebbe essere $L+(L-1)+...+2+ 1=(L *(L+1))/2$

"Injo":
La cosa però non mi convince. Se penso alle coppie generiche su [tex]L[/tex] elementi queste sono [tex]L^2[/tex]. Le coppie da me considerate sono un sottoinsieme di tutte le coppie eppure risultano essere [tex]L![/tex] che è [tex]L!>L^2[/tex].

Gli elementi sono $L+1$ (0 incluso), quindi le coppie possibili dovrebbero essere $(L+1)^2$.

Ti torna?

[DajeForte]

Somma invece di moltiplicare e considera che i numeri da 0 a L sono L+1

EDIT: Come dice cenzo

[Injo]

Ah, oddio, che errori osceni.

Grazie tante.