Congiunta di un vettore di due discrete

[mobley]

Siano $U$ e $V$ due v.a. indipendenti tali che $\mathbb(P)(U=1)=\mathbb(P)(V=1)=1/4$ e $\mathbb(P)(U=-1)=\mathbb(P)(V=-1)=3/4$. Siano inoltre $X=U/V$ e $Y=U+V$.
a) Scrivere la legge congiunta di $(X,Y)$.
b) Calcola $Cov(X,Y)$.
c) Se invece di avere solo due v.a. $U$ e $V$ indipendenti e somiglianti se ne avessero 50, tutte indipendenti e somiglianti con la stessa legge di $U$, e le chiamassimi $U_1,U_2,...,U_50$, e definissimo $Z=U_1+U_2+...+U_50$, quanto vale $E(Z)$? E $\mathbb(P)(Z<=-10)$?

a) $\mathbb(P)(U=1,V=1)=\mathbb(X=1,Y=2)rArr 1/4\cdot 1/4=1/16$
$\mathbb(P)(U=-1,V=-1)=\mathbb(X=1,Y=-2)rArr 3/4\cdot 3/4=9/16$
$\mathbb(P)(U=1,V=-1)=\mathbb(X=-1,Y=0)rArr 1/4\cdot 3/4=3/16$
$\mathbb(P)(U=-1,V=1)=\mathbb(X=-1,Y=0)rArr 3/4\cdot 1/4=3/16$
da cui si costruisce la tabella a doppia entrata con le altre combinazioni di probabilità nulla.
b) Non sono sicuro che i passaggi per calcolare il valore atteso del prodotto siano formalmente corretti (specie il passaggio dai due valori attesi condizionati alle sommatorie), quindi vi chiederei gentilmente di controllarne la correttezza:

$Cov(X,Y):=\mathbb(E)[XY]-\mathbb(E)[X]\mathbb(E)[Y]$

dove

$\mathbb(E)[X]=1\cdot 10/16+(-1)\cdot 6/16=1/4$

$\mathbb(E)[Y]=0\cdot 6/16+2\cdot 1/16+(-2)\cdot 9/16=-1$

$\mathbb(E)[XY]=\mathbb(E)[\mathbb(E)(XY|X=i)]=\mathbb(E)[\mathbb(E)(XY|X=1) uu \mathbb(E)(XY|X=-1)]$

$=\sum_(xy)xy \mathbb(P)(XY=xy nn X=1)+\sum_(xy)xy \mathbb(P)(XY=xy nn X=-1)$

$=1\cdot [2\cdot 1/16+(-2)\cdot 9/16]+(-1)\cdot [0\cdot 6/16]=-1$

da cui segue la covarianza.
c) Sicuramente devo applicare l'approssimazione alla Normale tramite TLC ma non capisco come.

[Lo_zio_Tom]

"mobley":
c) Sicuramente devo applicare l'approssimazione alla Normale tramite TLC ma non capisco come.

A parte la banalità del fatto che $mathbb{E}=-1/2$; $mathbb{V}=3/4$ e quindi $mathbb{E}[Z]=-25$

Sicuramente per calcolare $mathbb{P}[Z<=z]$ puoi usare il TLC se vuoi avere il calcolo approssimato e veloce....ed è banale, basta utilizzare la formula (con l'apposito fattore di correzione per una migliore approssimazione)...media e varianza ed $n$ ce le hai....non vedo il problema

La cosa più interessante invece è calcolare la distribuzione esatta di $Z=sum_(i=1)^50 U_i$ ... ed è altrettanto semplice.

1) standardizzo U nel seguente modo

$W=(U+1)/2$

a questo punto $W$ è una bernulliana: $W~"Bin"(1;1/4)$

2) Ora la somma delle W è una binomiale: $Sigma_iW_i~"Bin"(50;1/4)$.

In sostanza quindi anche la somma delle U è una binomiale solo che ha il supporto modificato

$Sigma_iW_i=Sigma_i(U_i+1)/2 $

$Sigma_i U_i=-50+2Sigma_i W_i$

in sostanza la variabile è sempre binomiale ma con dominio

${-50;-48;-46;...;46;48;50}$

invece di avere ${0;1;2;...;50}$ ma la distribuzione non cambia

...e quindi $mathbb{P}[Z<=-10]=sum_(k=0)^(20)((50),(k))(1/4)^k(3/4)^(50-k)$

...che può tranquillamente essere lasciato così.

EDIT: con il TLC, opportunamente corretto, viene $0.9943$; ottima approssimaziome visto che la probabilità esatta è $=0.9937...$


... il resto non l'ho guardato perché di poco interesse

[mobley]

Come sempre tommik… Grazie mille!
Potrei chiederti solo un parere sul punto b)? Ritieni accettabili i passaggi logici?