Confronto tra variabili aleatorie

[gugo82]

Sono un po' arruginito con il C.d.P. e non ho un buon testo sotto mano, perciò pongo la seguente questione (credo elementare).

Ho uno spazio di probabilità \((\Omega ,\mathbb{P})\) e due variabili casuali indipendenti $X,Y$ con distribuzioni $f_X$ e $f_Y$.
Come faccio a calcolare la probabilità dell'evento $\{X\leq Y\}$?

Se $X$ e $Y$ sono uniformemente distribuite negli intervalli $[a_X,b_X]$ e $[a_Y,b_Y]$, è possibile mettere in relazione l'evento $\{X\leq Y\}$ con le caratteristiche degli intervalli $[a_X,b_X]$ e $[a_Y,b_Y]$?

Grazie mille per l'aiuto.

[Lo_zio_Tom]

Ciao gugo! ....mi sembra troppo semplice il quesito

La probabilità richiesta in generale è

$P(X<=Y)= intint_(X <=Y) f (x, y) dxdy $

Ovvero per l'indipendenza

$ int_(-oo)^(+oo) f(x)[int_(x)^(oo) f (y) dy]dx $

nel caso di variabili uniformi indipendenti il problema si semplifica molto: essendo infatti $f(x,y)=f(x)f(y)=c$ otteniamo

$P(X<=Y)=cA_(x<=y)$

l'evento in questione lo puoi mettere in relazione con gli intervalli delle uniformi in maniera grafica.

Puoi vedere anche questo topic dove avevo già risolto problemi simili:

viewtopic.php?f=34&t=152146&p=951520#p951515

[gugo82]

Grazie del consiglio, tommik.

In realtà, come ho poi capito leggendo bene quanto avevo davanti, è che mi interessa solo stabilire quando \(\mathbb{P}(X< Y)\) è positiva, non calcolare la probabilità esatta; quindi la risposta va benissimo.
Suppongo che con \(A_{x\leq y}\) tu intenda l'area della porzione del rettangolo \([a_X,b_X]\times [a_Y,b_Y]\) che cade nel semipiano \(x\leq y\)... Giusto?

Io, nella mia profonda ignoranza del C.d.P. (che non mi è mai piaciuto) e dato che mi serve calcolare esplicitamente le pdf, avevo pensato di fare tutto "a mano".
Insomma, dato che:
\[
\mathbb{P}(X \]
e dato che \(f_{X-Y} = f_{X+(-Y)}=f_X * f_{-Y}\) (con la convoluzione che può esser calcolata a mano), ho \(\mathbb{P}(X0\) se e solo se $0$ cade alla destra dell'estremo inferiore del supporto di \(f_X * f_{-Y}\).
O ho detto cavolate?

In particolare, se:
\[
\begin{split}
f_X(t) &:= \begin{cases} \frac{1}{b_X - a_X} & \text{, se } a_X\leq t f_Y(t) &:= \begin{cases} \frac{1}{b_Y - a_Y} & \text{, se } a_Y\leq t \end{split}
\]
trovo:
\[
f_{X-Y}(t) = f_X * f_{-Y} (t) = \begin{cases} 0 & \text{, se } t \frac{t + b_Y - a_X}{(b_X-a_X)(b_Y-a_Y)} &\text{, se } a_X-b_Y\leq t < b_X - b_Y\\
\frac{1}{b_Y-a_Y} &\text{, se } b_X - b_Y \leq t < a_X - a_Y\\
\frac{b_X - a_Y - t}{(b_X-a_X)(b_Y-a_Y)} &\text{, se } a_X - a_Y\leq t < b_X - a_Y\\
0 &\text{, se } b_X - a_Y \leq t
\end{cases}
\]
quando \(b_Y-a_Y \geq b_X - a_X\), oppure coi ruoli di \(a_X\) ed \(a_Y\), \(b_X\) e \(b_Y\) invertiti se vale il caso opposto. Conseguentemente \(\mathbb{P}(X0\) quando:

[*:31ivddnv] \(a_X < b_Y\) se \(b_Y-a_Y \geq b_X - a_X\);

[/*:m:31ivddnv]
[*:31ivddnv] \(a_Y < b_X\) se \(b_X-a_X > b_Y - a_Y\).[/*:m:31ivddnv][/list:u:31ivddnv]

Che ne dici, funziona?

[Lo_zio_Tom]

"gugo82":
Suppongo che con \(A_{x\leq y}\) tu intenda l'area della porzione del rettangolo \([a_X,b_X]\times [a_Y,b_Y]\) che cade nel semipiano \(x\leq y\)... Giusto?

sì, esattamente. E' l'area di integrazione

per l'altra soluzione: non sono così elastico, sono laureato in economia e di mestiere faccio il contabile....ci devo ragionare

"gugo82":Conseguentemente \(\mathbb{P}(X0\) quando:

[*:23edawyi] \(a_X < b_Y\) se \(b_Y-a_Y \geq b_X - a_X\);

[/*:m:23edawyi]
[*:23edawyi] \(a_Y < b_X\) se \(b_X-a_X > b_Y - a_Y\).[/*:m:23edawyi][/list:u:23edawyi]

Che ne dici, funziona?

se $a$ e $b$ sono positivi alla grande! ma potrebbero essere anche negativi?

In questo esempio $X


e come vedi è:

$a_(x)
inoltre è anche

$b_(x)-a_(x)>b_(y)-a_(y)$ ma $a_(y)>b_(y)$

spero di non aver detto sciocchezze

[gugo82]

@ tommik: Avevo sbagliato a calcolare la convoluzione quando $b_X-a_X > b_Y - a_Y$... In particolare, calcolando bene, si trova che:
\[
f_{X-Y}(t) = \begin{cases} 0 &\text{, se } t < a_X - b_Y\\
\frac{t + b_Y - a_X}{(b_X-a_X)(b_Y-a_Y)} &\text{, se } a_X - b_Y \leq t < a_X - a_Y \\
\frac{1}{b_X-a_X} &\text{, se } a_X - a_Y \leq t < b_X - b_Y \\
\frac{b_X - a_Y - t}{(b_X-a_X)(b_Y-a_Y)} &\text{, se } b_X - b_Y \leq t < b_X - a_Y\\
0 &\text{, se } b_X - a_Y \leq t \end{cases}
\]
nel caso che ho detto.
Quindi, in ogni caso, la condizione che ho trovato si scrive $a_X
Ciò collima con la tua interpretazione geometrica, in quanto equivale a dire che il vertice in alto a sinistra del rettangolo che consideri si trova al di sopra della bisettrice del I-III, e tanto basta affinché l'area considerata sia positiva.

Un'altra cosa...
Se dovessi confrontare due variabili casuali non entrambe uniformi? Come potrei fare?
Ad esempio, una variabile con densità uniforme ed una variabile con densità a trapezio?

[Lo_zio_Tom]

[Edit]]

Per calcolare la probabilità dell'evento basta utilizzare l'integrale della densità congiunta nel dominio $ x
Ma, se come hai detto, sei interessato solo a "quando" $ X

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