Composizione di variabili aleatorie

[matitti]

Io ho due variabili aleatorie X e Y, indipendenti e distribuite uniformemente su tutto R. So che X ha media $mu$ e varianza $sigma^2$, mentre Y ha media $mu_y$ e varianza $sigma_y ^2$.
Voglio calcolare media e varianza della nuova variabile aleatoria Z, data da:
$Z=a*X-b*Y$ con a,b costanti positive.
Posso dire $mu_z=a*mu - b*mu_y$ e $sigma_z ^2=a*sigma^2 + b*sigma_y ^2$??

[Flare1]

Per \( \mu_z \) dovrebbe essere ok, mentre \( \sigma^2_z = a^2\sigma^2+b^2\sigma^2_y \)
Dai un'occhiata a questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Varianza#Linearit.C3.A0

[matitti]

Ma posso fare queste considerazioni anche in caso di variabili non indipendenti?

[Flare1]

Per quanto riguarda il valore atteso (media), considerando due variabili aleatorie qualsiasi (indipendenti o meno) $ X $ e $ Y $ si ha
$ E[X+Y] = E[X]+E[Y] $
$ E[aX+b] = aE[X]+b $ con \( a,b\in R \)

Nel tuo caso si ha $ E[aX-bY] = E[aX]+[-bY] = aE[X]-b[Y] = $ \( a\mu-b\mu_y \)

Per quanto riguarda la varianza invece, considerando due variabili aleatorie qualsiasi (indipendenti o meno) $ X $ e $ Y $ si ha

$ Var(aX+b) = a^2Var(X) $
$ Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) $

La covarianza può essere calcolata come $ Cov(X,Y) = E[XY]-E[X]E[Y] $, ma se $ X $ e $ Y $ sono indipendenti vale che
$ E[XY]=E[X]E[Y] $ e quindi la $ Cov(X,Y) = E[X]E[Y] - E[X]E[Y] = 0 $

Quindi puoi calcolare la varianza della somma di due variabili indipendenti come la somma delle varianze ovvero:
$ Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) $

Nel tuo caso si ha $ Var(aX-bY)= Var(aX)+Var(-bY) +2Cov(aX,-bY) = a^2Var(X)+b^2Var(Y) + 0 = $ \( a^2\sigma^2+b^2\sigma_y^2 \)

[matitti]

Chiaro! Grazie!