Come determinare (matematicamente) il valore critico
Ciao a tutti ragazzi, ho bisogno di una vostra mano nel capire matematicamente come si determina il valor critico di una determinata distribuzione di probabilità. Precisamente
Da un punto di vista matematico, come si determina 15.51? Io opererei così
[tex]0.05=\displaystyle\int_x^{ + \infty } {\displaystyle\frac{1}{{\Gamma \left( 4 \right)}}\left( {\displaystyle\frac{1}{2}} \right)^4 y^3 e^{ - 1/2y} dy}[/tex]
cioè [tex]\displaystyle\int_x^{ + \infty } {y^3 e^{ - 1/2y} dy} = 0.05 - \displaystyle\frac{1}{{\Gamma \left( 4 \right)}}\left( {\displaystyle\frac{1}{2}} \right)^4[/tex] no?
Aspetto vostre notizie! Sono sicuro che mi aiuterete a capire come procedere
Supponiamo di avere una distribuzione Chi-quadro con 8 g.d.l. e sia il livello di significatività $ \alpha=0.05 $. Allora, dalle tavole già predisposte si trova che il valore critico di tale distribuzione è [tex]\chi_{0.05,8}^2=15.51.[/tex].
Da un punto di vista matematico, come si determina 15.51? Io opererei così
[tex]0.05=\displaystyle\int_x^{ + \infty } {\displaystyle\frac{1}{{\Gamma \left( 4 \right)}}\left( {\displaystyle\frac{1}{2}} \right)^4 y^3 e^{ - 1/2y} dy}[/tex]
cioè [tex]\displaystyle\int_x^{ + \infty } {y^3 e^{ - 1/2y} dy} = 0.05 - \displaystyle\frac{1}{{\Gamma \left( 4 \right)}}\left( {\displaystyle\frac{1}{2}} \right)^4[/tex] no?
Aspetto vostre notizie! Sono sicuro che mi aiuterete a capire come procedere
Risposte
A livello generale vale questo:
se definiamo $F(x)$ come la funzione di ripartizione della v.a. $x$ possiamo dire che $F(c)=a$, dove "a"
è il livello di che significatività. Cioè:
$F(c)=int_(-oo)^(c) f(x) dx =a$
se a te interessa definire matematicamente il valore critico "c" allora devi sfruttare l'inversa della cdf cioè:
$c=F^(-1)(a)$
per le v.a. continue l'inversa delle cdf è sempre ben definita.
Nel tuo caso della chi-quadro il valore critico è sulla coda destra nella mia scrittura si intende la coda sinistra ma in ogni caso
cambia poco, devi sempre passare per l'inversa che tipicamente trovi in quasi tutti gli applicativi.
se definiamo $F(x)$ come la funzione di ripartizione della v.a. $x$ possiamo dire che $F(c)=a$, dove "a"
è il livello di che significatività. Cioè:
$F(c)=int_(-oo)^(c) f(x) dx =a$
se a te interessa definire matematicamente il valore critico "c" allora devi sfruttare l'inversa della cdf cioè:
$c=F^(-1)(a)$
per le v.a. continue l'inversa delle cdf è sempre ben definita.
Nel tuo caso della chi-quadro il valore critico è sulla coda destra nella mia scrittura si intende la coda sinistra ma in ogni caso
cambia poco, devi sempre passare per l'inversa che tipicamente trovi in quasi tutti gli applicativi.
Ok, ci provo ... data [tex]f\left( x \right) = \displaystyle\frac{1}{{\Gamma \left( 4 \right)}}\left( {\displaystyle\frac{1}{2}} \right)^4 x^3 e^{ - 1/2x}[/tex] la densità di una v.a. Chi-quadro con $8$ g.d.l. si ha che
[tex]F\left( x \right) = \displaystyle\int_0^x {\displaystyle\frac{1}{{\Gamma \left( 4 \right)}}\left( {\displaystyle\frac{1}{2}} \right)^4 t^3 e^{ - 1/2t} dt} = \frac{1}{{96}}\int_0^x {t^3 e^{ - 1/2t} dt} = 1 - \displaystyle\frac{{e^{ - x/2} \left( {x^3 + 6x^2 + 24x + 48} \right)}}{{48}}[/tex]. Ora, la $ F^(-1)(x) $ però non è sprimibile in forma chiusa tramite funzioni elementari no?
Comunque, a questo punto si ha che
[tex]15.51 = F^{ - 1} \left( {0.05} \right)[/tex] no?
Aspetto vostre notizie! Sono sicuro che mi aiuterete a capire
. Grazie
[tex]F\left( x \right) = \displaystyle\int_0^x {\displaystyle\frac{1}{{\Gamma \left( 4 \right)}}\left( {\displaystyle\frac{1}{2}} \right)^4 t^3 e^{ - 1/2t} dt} = \frac{1}{{96}}\int_0^x {t^3 e^{ - 1/2t} dt} = 1 - \displaystyle\frac{{e^{ - x/2} \left( {x^3 + 6x^2 + 24x + 48} \right)}}{{48}}[/tex]. Ora, la $ F^(-1)(x) $ però non è sprimibile in forma chiusa tramite funzioni elementari no?
Comunque, a questo punto si ha che
[tex]15.51 = F^{ - 1} \left( {0.05} \right)[/tex] no?
Aspetto vostre notizie! Sono sicuro che mi aiuterete a capire
. Grazie
Più o meno ci siamo credo che però l'ultima formula sia errata per la storia delle code che accennavo prima.
Rimanendo sul generale (non mi va di fare conti) se $F(x)$ e la cdf della chi-quadro con 8 g.d.l.
porre un livello di significatività per il test pari al $5%$ cioè $a=0,05$ vuol dire:
$0,05=1-F(15,51)$ ovvero i valori più a destra di $15,51$ hanno massa di probabilità pari al $5%$ da cui
$F(15,51)=0,95$
$15,51=F^(-1)(0,95)$
N.B: massima attenzione agli applicativi, ad esempio su Excel sembrerebbe corretta l'ultima formula scritta da te,
ma in realtà in quel caso la funzione nativa non considera la cdf ma è 1-cdf o meglio P(X>x).
Rimanendo sul generale (non mi va di fare conti) se $F(x)$ e la cdf della chi-quadro con 8 g.d.l.
porre un livello di significatività per il test pari al $5%$ cioè $a=0,05$ vuol dire:
$0,05=1-F(15,51)$ ovvero i valori più a destra di $15,51$ hanno massa di probabilità pari al $5%$ da cui
$F(15,51)=0,95$
$15,51=F^(-1)(0,95)$
N.B: massima attenzione agli applicativi, ad esempio su Excel sembrerebbe corretta l'ultima formula scritta da te,
ma in realtà in quel caso la funzione nativa non considera la cdf ma è 1-cdf o meglio P(X>x).
Si infatti, volevo scrivere 0.95. Grazie Markowitz 
Non sapevo che in Excel si potesse fare quanto fin'ora detto: quali sono le funzioni?
Non sapevo che in Excel si potesse fare quanto fin'ora detto: quali sono le funzioni?
Le funzioni sono:
DISTRIB.CHI
INV.CHI
ciao
DISTRIB.CHI
INV.CHI
ciao
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