Come calcolare una combinazione semplice di elementi con dei vincoli
Salve a tutti, come da titolo ho il seguente problema: ho n elementi che voglio raggruppare in modo che ogni raggruppamento contenga k elementi degli n iniziali (\(\displaystyle k\leq n \) ) in modo che ogni raggruppamento si distingua dagli altri per almeno un elemento e non per l'ordine ed in modo tale che venga rispettato un certo vincolo, quante combinazioni semplici posso avere?
Dovrei usare il coefficiente binomiale per risolvere il problema, però, questi n elementi non sono indipendenti tra loro perché la presenza di alcuni di essi esclude che ce ne siano altri.
Vi faccio un esempio: ho 3 torni (1,2 e 3) distinti ed indipendenti, ogni tornio può essere acceso o spento, quindi ho gli elementi\(\displaystyle ON_{1},OFF_{1},ON_{2},OFF_{2},ON_{3},OFF_{3} \) , ossia \(\displaystyle n=6 \). Quanti sono i possibili raggruppamenti ognuno contenente 3 elementi e tali che il raggruppamento abbia significato fisico (come detto i raggruppamenti devono anche distinguersi per almeno un elemento e non per l'ordine)? I raggruppamenti contenenti per esempio \(\displaystyle ON_{1},OFF_{1}, \), etc.. vanno esclusi (lo stesso tornio non può essere acceso e spento contemporaneamente).
Con 3 torni il conto si può fare con una tabella (dovrebbero essere 8 raggruppamenti possibili), ma se il numero dei torni aumenta, la cosa diventa laboriosa. C'è un modo per svolgere il calcolo?
Grazie.
Dovrei usare il coefficiente binomiale per risolvere il problema, però, questi n elementi non sono indipendenti tra loro perché la presenza di alcuni di essi esclude che ce ne siano altri.
Vi faccio un esempio: ho 3 torni (1,2 e 3) distinti ed indipendenti, ogni tornio può essere acceso o spento, quindi ho gli elementi\(\displaystyle ON_{1},OFF_{1},ON_{2},OFF_{2},ON_{3},OFF_{3} \) , ossia \(\displaystyle n=6 \). Quanti sono i possibili raggruppamenti ognuno contenente 3 elementi e tali che il raggruppamento abbia significato fisico (come detto i raggruppamenti devono anche distinguersi per almeno un elemento e non per l'ordine)? I raggruppamenti contenenti per esempio \(\displaystyle ON_{1},OFF_{1}, \), etc.. vanno esclusi (lo stesso tornio non può essere acceso e spento contemporaneamente).
Con 3 torni il conto si può fare con una tabella (dovrebbero essere 8 raggruppamenti possibili), ma se il numero dei torni aumenta, la cosa diventa laboriosa. C'è un modo per svolgere il calcolo?
Grazie.
Risposte
Non mi è del tutto chiaro il tuo quesito....
Con $n$ torni, utilizzandoli tutti, puoi fare $n^2$ raggruppamenti diversi.
Se vuoi sapere quanti gruppi diversi ognuno di $k$ elementi puoi fare, rispettando il vincolo acceso/spento $(C_(n,k))^2$
Con $n$ torni, utilizzandoli tutti, puoi fare $n^2$ raggruppamenti diversi.
Se vuoi sapere quanti gruppi diversi ognuno di $k$ elementi puoi fare, rispettando il vincolo acceso/spento $(C_(n,k))^2$
Intanto, grazie per la risposta. Oggi sono stato dal professore a chiedere e mi ha spiegato come fare (nelle ipotesi in cui non interessi l'ordine delle disposizioni) :
ho 3 torni, ognuno può essere acceso o spento (ON, OFF). I possibili raggruppamenti di 3 elementi ciascuno (3 torni=tre combinazioni di ON/OFF in ogni raggruppamento) che abbiano senso fisico (appunto un tornio O è acceso O è spento) sono dati da:\(\displaystyle n^k \) dove n=numero di stati che possiamo osservare (acceso o spento allora \(\displaystyle n=2 \) ) e k=numero di torni=3 ed in effetti tutto torna perché i possibili raggruppamenti che abbiano significato fisico sono \(\displaystyle 2^3 = 8 \) (basta fare una tabella per vederlo). Inoltre funziona anche dal punto di vista del binomio di Newton dove questa volta k=numero di elementi che vogliamo in ogni raggruppamento=3 ed n=numero di prove o eventi osservati simultaneamente e quindi n=3 (3 torni osservati simultaneamente) e quindi, indicando con p la probabilità di avere un tornio acceso e q la probabilità di averlo spento ho:
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{3}\begin{pmatrix}
3\\
3
\end{pmatrix}p^kq^{3-k}=(p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 \)
come si vede ho otto raggruppamenti possibili (1+3+3+1) e la probabilità di averne 3 accesi è \(\displaystyle p^3 \), di averne 2 accesi e 1 spento è \(\displaystyle 3p^2q \) (ovviamente i casi in cui ne ho 2 accesi e 1 spento sono 3) idem per due spenti ed uno acceso ( \(\displaystyle 3pq^2 \) ) ed infine la probabilità di averne tre spenti è \(\displaystyle q^3 \).
ho 3 torni, ognuno può essere acceso o spento (ON, OFF). I possibili raggruppamenti di 3 elementi ciascuno (3 torni=tre combinazioni di ON/OFF in ogni raggruppamento) che abbiano senso fisico (appunto un tornio O è acceso O è spento) sono dati da:\(\displaystyle n^k \) dove n=numero di stati che possiamo osservare (acceso o spento allora \(\displaystyle n=2 \) ) e k=numero di torni=3 ed in effetti tutto torna perché i possibili raggruppamenti che abbiano significato fisico sono \(\displaystyle 2^3 = 8 \) (basta fare una tabella per vederlo). Inoltre funziona anche dal punto di vista del binomio di Newton dove questa volta k=numero di elementi che vogliamo in ogni raggruppamento=3 ed n=numero di prove o eventi osservati simultaneamente e quindi n=3 (3 torni osservati simultaneamente) e quindi, indicando con p la probabilità di avere un tornio acceso e q la probabilità di averlo spento ho:
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{3}\begin{pmatrix}
3\\
3
\end{pmatrix}p^kq^{3-k}=(p+q)^3=p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 \)
come si vede ho otto raggruppamenti possibili (1+3+3+1) e la probabilità di averne 3 accesi è \(\displaystyle p^3 \), di averne 2 accesi e 1 spento è \(\displaystyle 3p^2q \) (ovviamente i casi in cui ne ho 2 accesi e 1 spento sono 3) idem per due spenti ed uno acceso ( \(\displaystyle 3pq^2 \) ) ed infine la probabilità di averne tre spenti è \(\displaystyle q^3 \).
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