Combinazioni o Disposizioni?
L'esercizio è il seguente:
Si lanciano contemporaneamente due dadi per 7 volte. Calcolare le probabilità che la somma dei punteggi delle facce rivolte verso l'alto risulti 4 o un suo multiplo esattamente/almeno 2 volte.
L'esercizio credo sia correttamente risolvibile con l'uso della binomiale ma il mio dubbio è sul semplice calcolo della probabilità dell'evento che si ripete, ossia, che probabilità c'è ad ogni lancio la somma sia un 4 o un suo multiplo?
Calcolando le disposizioni totali (36) e calcolando i casi favorevoli (9), la probabilità che la somma sia quella voluta è 1/4.
Utilizzando questa probabilità e applicando la binomiale si arriva al risultato corretto.
Ma, mi domandavo: perché non posso calcolare la probabilità del singolo evento utilizzando le combinazioni? Era stato proprio questo il mio primo pensiero anche perché nel testo compare la parola "contemporaneamente" che mi fa pensare che non importi dell'ordine dei due numeri da sommare (i due dadi si suppongono uguali poi, no?). Ma calcolando le combinazioni totali e i rispettivi casi favorevoli si ottiene un'altra probabilità e, usando questa, l'esercizio non risulta.
Sicuramente mi starò perdendo in un bicchier d'acqua ma se mi riuscite a far capire perché le combinazioni in questo caso non vanno bene vi ringrazio molto!
Si lanciano contemporaneamente due dadi per 7 volte. Calcolare le probabilità che la somma dei punteggi delle facce rivolte verso l'alto risulti 4 o un suo multiplo esattamente/almeno 2 volte.
L'esercizio credo sia correttamente risolvibile con l'uso della binomiale ma il mio dubbio è sul semplice calcolo della probabilità dell'evento che si ripete, ossia, che probabilità c'è ad ogni lancio la somma sia un 4 o un suo multiplo?
Calcolando le disposizioni totali (36) e calcolando i casi favorevoli (9), la probabilità che la somma sia quella voluta è 1/4.
Utilizzando questa probabilità e applicando la binomiale si arriva al risultato corretto.
Ma, mi domandavo: perché non posso calcolare la probabilità del singolo evento utilizzando le combinazioni? Era stato proprio questo il mio primo pensiero anche perché nel testo compare la parola "contemporaneamente" che mi fa pensare che non importi dell'ordine dei due numeri da sommare (i due dadi si suppongono uguali poi, no?). Ma calcolando le combinazioni totali e i rispettivi casi favorevoli si ottiene un'altra probabilità e, usando questa, l'esercizio non risulta.
Sicuramente mi starò perdendo in un bicchier d'acqua ma se mi riuscite a far capire perché le combinazioni in questo caso non vanno bene vi ringrazio molto!
Risposte
beh, se ci dici che cos'hai fatto, forse si potrà trovare l'errore ...
"adaBTTLS":
beh, se ci dici che cos'hai fatto, forse si potrà trovare l'errore ...
ma non c'è nessun errore
Ho detto che l'esercizio mi risulta usando disposizioni e binomiale.
La mia domanda è: perché invece usando le combinazioni per calcolare la probabilità del singolo evento non risulta? O meglio, perché usare le combinazioni(che mi sembrava più corretto) invece che le disposizioni non va bene?
O forse la tua frase voleva dire: "guarda che usando le combinazioni dovrebbe risultare lo stesso e quindi hai sbagliato qualche calcolo o procedura"?
ho capito quello che hai fatto, e ripeto quello che ti ho detto: se non vedo il procedimento che ti dà un risultato diverso, non ti posso dire se è corretto: anzi lo dici tu che non è, perché se fosse esatto ti dovrebbe dare lo stesso risultato.
però, ogni procedimento va adattato al problema, non significa che non si può usare un metodo solo perché, senza opportuni adattamenti al caso, non va bene.
però, ogni procedimento va adattato al problema, non significa che non si può usare un metodo solo perché, senza opportuni adattamenti al caso, non va bene.
Allora,
Usando le combinazioni:
Combinazioni con ripetizione di 6 elementi in classe 2: 21
Combinazioni con ripetizione favorevoli: 6
V=escono esattamente 2 volte
NV=no V
$P(V)=2/7 P(NV)=5/7$
Probablità che esca esattamente due volte una delle somme volute: $(2/7)^2*(5/7)^5*21=0.3187$
Usando le disposizioni:
Probablità che esca esattamente due volte una delle somme volute: $(1/4)^2*(3/4)^5*21=0.31146$
Usando le combinazioni:
Combinazioni con ripetizione di 6 elementi in classe 2: 21
Combinazioni con ripetizione favorevoli: 6
V=escono esattamente 2 volte
NV=no V
$P(V)=2/7 P(NV)=5/7$
Probablità che esca esattamente due volte una delle somme volute: $(2/7)^2*(5/7)^5*21=0.3187$
Usando le disposizioni:
Probablità che esca esattamente due volte una delle somme volute: $(1/4)^2*(3/4)^5*21=0.31146$
"ghiozzo":
Allora,
Usando le combinazioni:
Combinazioni con ripetizione di 6 elementi in classe 2: 21 è giusto 21, ma gli elementi sono 7
Combinazioni con ripetizione favorevoli: 6 ?? che significa?
V=escono esattamente 2 volte
NV=no V
$P(V)=2/7 P(NV)=5/7$
e no, tu dici che non ottieni il risultato giusto usando le combinazioni, e qui che le devi usare non le usi?
Probablità che esca esattamente due volte una delle somme volute: $(2/7)^2*(5/7)^5*21=0.3187$
il $7$ era già nell'impostazione, che cosa rappresenta il fatto che la somma dei due esponenti è $7$? e che rappresenta $((7),(2))=21$ in questa formula?
Usando le disposizioni:
Probablità che esca esattamente due volte una delle somme volute: $(1/4)^2*(3/4)^5*21=0.31146$
questa invece è corretta, perché hai usato la probabilità di una singola uscita e hai contato quante coppie di uscite ci sono tra 7, dunque hai usato le combinazioni, ma questa volta correttamente
La formula che uso è:
(probabilità dell'evento A che si vuole far accadere)^(numero volte che A che deve accadere)*(probabilità dell'evento complementare di A)^(numero delle volte che A non deve accadere)*(coefficiente binomiale: numero totale di esperimenti su numero di volte che A deve accadere)
Vediamo se riesco a spiegarmi meglio:
A=somma voluta
nel calcolare probabilità di A volevo, erroneamente, ragionare in questo modo:
Calcolare le combinazioni con ripetizioni di 6 elementi (cioè i numeri del dado: 1-2-3-4-5-6) in classe 2 ottenendo così il numero delle combinazioni totali che potevano uscire dal lancio dei due dadi. Quindi, calcolo il coefficiente binomiale di (6+2-1 su 2) cioè (7 su 2) che è 21.
Ora, "a mano", guardo le combinazioni favorevoli cioè quelle con la somma uguale a 4 o suo multiplo e sono: (2,2)(3,1)(4,4)(2,6)(5,3)(6,6). Sono 6. Quindi P(A)=6/21=2/7
Quindi utilizzo questi dati nella formula ed ecco il risultato sbagliato.
Quello che voglio capire è...perché nel calcolare la probabilità di A devo ragionare per disposizioni?
Cioè...trovo le disposizioni totali che sono 36
Le disposizioni favorevoli sono: (2,2)(3,1)(1,3)(4,4)(2,6)(6,2)(5,3)(3,5)(6,6). In totale sono 9. Quindi P(A)=9/36=1/4
Perché ha importanza l'ordine se si lanciano i due dadi contemporaneamente? Che probabilità ho trovato con il primo ragionamento?
(probabilità dell'evento A che si vuole far accadere)^(numero volte che A che deve accadere)*(probabilità dell'evento complementare di A)^(numero delle volte che A non deve accadere)*(coefficiente binomiale: numero totale di esperimenti su numero di volte che A deve accadere)
Vediamo se riesco a spiegarmi meglio:
A=somma voluta
nel calcolare probabilità di A volevo, erroneamente, ragionare in questo modo:
Calcolare le combinazioni con ripetizioni di 6 elementi (cioè i numeri del dado: 1-2-3-4-5-6) in classe 2 ottenendo così il numero delle combinazioni totali che potevano uscire dal lancio dei due dadi. Quindi, calcolo il coefficiente binomiale di (6+2-1 su 2) cioè (7 su 2) che è 21.
Ora, "a mano", guardo le combinazioni favorevoli cioè quelle con la somma uguale a 4 o suo multiplo e sono: (2,2)(3,1)(4,4)(2,6)(5,3)(6,6). Sono 6. Quindi P(A)=6/21=2/7
Quindi utilizzo questi dati nella formula ed ecco il risultato sbagliato.
Quello che voglio capire è...perché nel calcolare la probabilità di A devo ragionare per disposizioni?
Cioè...trovo le disposizioni totali che sono 36
Le disposizioni favorevoli sono: (2,2)(3,1)(1,3)(4,4)(2,6)(6,2)(5,3)(3,5)(6,6). In totale sono 9. Quindi P(A)=9/36=1/4
Perché ha importanza l'ordine se si lanciano i due dadi contemporaneamente? Che probabilità ho trovato con il primo ragionamento?
Perché ha importanza l'ordine se si lanciano i due dadi contemporaneamente?Supponi di avere un dado rosso e uno blu. Anche se i dadi fossero perfettamente identici, si tratta comunque di due dadi distinti.
adesso è chiaro quello che intendevi.
quando si scrive il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, si suppone che tutti i casi siano equiprobabili.
nel problema si parte dal considerare l'indipendenza dei due dadi e l'equiprobabilità delle facce di ciascun dado: i 36 casi sono equiprobabili per questo, e non mi pare che i 21 casi dell'altro calcolo lo siano.
quando si scrive il rapporto tra i casi favorevoli e i casi possibili, si suppone che tutti i casi siano equiprobabili.
nel problema si parte dal considerare l'indipendenza dei due dadi e l'equiprobabilità delle facce di ciascun dado: i 36 casi sono equiprobabili per questo, e non mi pare che i 21 casi dell'altro calcolo lo siano.
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