Combinazione di v.a. esponenziali
Ciao a tutti, mi viene chiesto di verificare che la var. aleatoria Z definita come: $min{X,Y}$, dove X e Y sono 2 v.a. esponenziali indipendenti di paramentri, rispettivmaente, $\lambda$ e $u$.
io sono partito utilizzando il teorema della probabilità totale: $P(Z = z) = P(min{X,Y} = z) = P(min{X,Y} = z | X = z)P(X = z) + P(min{X,Y} = z | X != z)P(X != z) = P({min(z,Y)} = z)P(X = z) + P({min(x,Y)} = z)P(X != z)$
In questo ho consizionato rispetto ad X, ed il ragionamento mi pare corretto in linea di principio. Però chiaramente il risultato non viene, anche perchè nella seconda parte, con X diverso da z, non credo di poter affermare che quella è la proprietà di Y = z, perchè X e Y sono indipendenti.
Il libro risolve il problema dicendo che: $F_Z(z) = 1 - P(min{X, Y } > z) = 1 − P (min{X, Y } > z) = 1 − P(X > z, Y > z) = 1 − P(X > z)P(Y > z) = 1 - e^(−z\lambda − μz) = 1 − e^(−(\lambda+μ)z).
e derivando si arriva alla densità di probabilità cercata.
qualcuno può darmi una mano per correggere il mio ragionamento ?
Graziea a tutti..
EDIT:ora che ci penso inoltre, mi pareva che la combinazione di 2 v.a. esponenziali che dannò come risultato un esponenziale di paramentro $\lambda + u$ fossero espresse come: $\lambdaue(-\lambda + u)z$, invece secondo il ragionamente del libro, derivando, si ottiene $(\lambda + u)e(-\lambda + u)z$
Qualcuno può darmi un chiarimento ?
io sono partito utilizzando il teorema della probabilità totale: $P(Z = z) = P(min{X,Y} = z) = P(min{X,Y} = z | X = z)P(X = z) + P(min{X,Y} = z | X != z)P(X != z) = P({min(z,Y)} = z)P(X = z) + P({min(x,Y)} = z)P(X != z)$
In questo ho consizionato rispetto ad X, ed il ragionamento mi pare corretto in linea di principio. Però chiaramente il risultato non viene, anche perchè nella seconda parte, con X diverso da z, non credo di poter affermare che quella è la proprietà di Y = z, perchè X e Y sono indipendenti.
Il libro risolve il problema dicendo che: $F_Z(z) = 1 - P(min{X, Y } > z) = 1 − P (min{X, Y } > z) = 1 − P(X > z, Y > z) = 1 − P(X > z)P(Y > z) = 1 - e^(−z\lambda − μz) = 1 − e^(−(\lambda+μ)z).
e derivando si arriva alla densità di probabilità cercata.
qualcuno può darmi una mano per correggere il mio ragionamento ?
Graziea a tutti..
EDIT:ora che ci penso inoltre, mi pareva che la combinazione di 2 v.a. esponenziali che dannò come risultato un esponenziale di paramentro $\lambda + u$ fossero espresse come: $\lambdaue(-\lambda + u)z$, invece secondo il ragionamente del libro, derivando, si ottiene $(\lambda + u)e(-\lambda + u)z$
Qualcuno può darmi un chiarimento ?
Risposte
per trovare la distribuzione devi usare la definizione di funzione di ripartizione per Z cioè $F_Z(z)=P(min{X,Y} \leq z)$ da cui segue il ragionamento del libro
"itpareid":
per trovare la distribuzione devi usare la definizione di funzione di ripartizione per Z cioè $F_Z(z)=P(min{X,Y} \leq z)$ da cui segue il ragionamento del libro
ah, quindi devo per forza passare attraverso la ripartizione.. però mi è sorto un altro dubbio: la ripartizione di Z è definita come $F_Z(z) = P(min{X,Y} < z)$. Ora, se si utilizza il complementare di quella probabiltà si passa al ragionamento del libro. Ma se continuo i calcoli con questa disuguaglianza otterrei: $P(X < z, Y < z) = (1 - e^(-\lambdaz))(1 - e^(-uz))$ che dà un risultato diverso..
secondo me il passaggio che hai scritto non va bene perchè se il minimo tra $X$ e $Y$ è minore od uguale a $z$ non è detto che l'altro lo sia, mentre (nel passaggio del libro) se il minimo tra $X$ e $Y$ è maggiore di $z$ sicuramente anche l'altro lo è...
naturalmente prendi quello che scrivo con le molle...
naturalmente prendi quello che scrivo con le molle...
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