Combinatoria. Selezionare spazi per mettere lettere.
Salve a tutti,
ho il seguente problema:
data la parola ACTIVE, qual è il numero di sistemazioni possibili senza che le lettere C,E stiano assieme?
quindi, considero le lettere diverse da C,E, e tra di essi inserisco degli spazi dove posso inserire le singole lettere suddette.
[size=150]_ A _ T _ I _ V _[/size]
1) in sostanza nel seguente procedimento, man mano che seleziono una lettera, vado a selezionare uno spazio che ospiterà tale lettera, e cioè:
da 2 lettere {C,E} ne scelgo 1, e da 5 spazi ne scelgo 1 per la lettera appena scelta, ed inoltre da 1 lettera rimasta ne prendo 1 e da 4 spazi rimasti ne scelgo 1 per la lettera appena scelta:
\(\displaystyle \binom{2}{1} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{1}{1} \cdot \binom{4}{1} = (2 \cdot 5) \cdot (1 \cdot 4) = 10 \cdot 4 = 40 \)
ma il risultato è sbagliato.
il procedimento corretto dovrebbe essere il seguente:
2) considero prima tutti gli spazi che occorrono per le lettere che andrò a selezionare, e poi seleziono le lettere:
\(\displaystyle \binom{2}{1} \cdot \binom{1}{1} \cdot \binom{5}{2} = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20 \)
che poi il risultato è uguale anche a: \(\displaystyle {}^5P_{2} = 5 \cdot 4 = 20 \).
le lettere ATIV si possono sistemare in \(\displaystyle 4! \), perciò ottengo il numero di sistemazioni dell'intera parola data con: \(\displaystyle 20 \cdot 4! = 480 \).
la mia domanda è:
sebbene entrambi i ragionamenti mi sembrano logicamente corretti, per cortesia, potreste spiegarmi perchè è sbagliato il ragionamento del procedimento 1), ma è corretto il ragionamento del procedimento 2) ?
grazie mille!
ho il seguente problema:
data la parola ACTIVE, qual è il numero di sistemazioni possibili senza che le lettere C,E stiano assieme?
quindi, considero le lettere diverse da C,E, e tra di essi inserisco degli spazi dove posso inserire le singole lettere suddette.
[size=150]_ A _ T _ I _ V _[/size]
1) in sostanza nel seguente procedimento, man mano che seleziono una lettera, vado a selezionare uno spazio che ospiterà tale lettera, e cioè:
da 2 lettere {C,E} ne scelgo 1, e da 5 spazi ne scelgo 1 per la lettera appena scelta, ed inoltre da 1 lettera rimasta ne prendo 1 e da 4 spazi rimasti ne scelgo 1 per la lettera appena scelta:
\(\displaystyle \binom{2}{1} \cdot \binom{5}{1} \cdot \binom{1}{1} \cdot \binom{4}{1} = (2 \cdot 5) \cdot (1 \cdot 4) = 10 \cdot 4 = 40 \)
ma il risultato è sbagliato.
il procedimento corretto dovrebbe essere il seguente:
2) considero prima tutti gli spazi che occorrono per le lettere che andrò a selezionare, e poi seleziono le lettere:
\(\displaystyle \binom{2}{1} \cdot \binom{1}{1} \cdot \binom{5}{2} = 2 \cdot 1 \cdot 10 = 20 \)
che poi il risultato è uguale anche a: \(\displaystyle {}^5P_{2} = 5 \cdot 4 = 20 \).
le lettere ATIV si possono sistemare in \(\displaystyle 4! \), perciò ottengo il numero di sistemazioni dell'intera parola data con: \(\displaystyle 20 \cdot 4! = 480 \).
la mia domanda è:
sebbene entrambi i ragionamenti mi sembrano logicamente corretti, per cortesia, potreste spiegarmi perchè è sbagliato il ragionamento del procedimento 1), ma è corretto il ragionamento del procedimento 2) ?
grazie mille!
Risposte
1) è sbagliato perche moltiplichi per due...
tu fissi una lettera ed hai 5 posti, poi l'altra sta in 4.
Non devi stare a vedere anche qual è la prima che metti, altrimenti conti doppio. Fai una prova tu e verifica che mettere prima una lettera o l'altra, vengono fuori sempre le stesse combinazioni.
tu fissi una lettera ed hai 5 posti, poi l'altra sta in 4.
Non devi stare a vedere anche qual è la prima che metti, altrimenti conti doppio. Fai una prova tu e verifica che mettere prima una lettera o l'altra, vengono fuori sempre le stesse combinazioni.
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