Coerenza assegnazione di probabilità
Salve a tutti, ho un altro dubbio su un esercizio di probabilità il cui testo lo copio preciso così com'è:
Si considerino gli eventi $A, B, C, D, E$ tali che $C ∧ B = ∅, D = (A ∧ B^C) ∨ (A^C ∧ B)$ ed $E$
incompatibile con $A$ e con $B$. Si dica se l’assegnazione $P(A) = P(E) = 0.2, P(B) = 0.5$ e
$P(D) = 0.3$ è coerente. Stabilire quali coppie di eventi sono logicamente indipendenti (e quali
stocasticamente indipendenti). Trovare il codominio e calcolare poi previsione e varianza del
numero aleatorio $X = 3|A| − |C| + |B| − 2|E|$ .
Prima di tutto ho voluto verificare la coerenza, e a me torna che non è coerente.. Solo che non ci sono le soluzioni ed io non ne ho la certezza! ..
Formo il sistema dato da:
$ {X_1+X_3=3/10 ;
X_4=5/10 ;
X_5=2/10 ;
X_1+X_2= P(C)
$
Direi che è coerente perchè arrivo a scrivere $ 10/10 + X_2+X_6=1$ e se assegnassi $0$ a $X_2$ e $X_6$ mi viene vera l'ugualianza e quindi ho trovato una soluzione del sistema.. ma è davvero così o mi invento le cose per "intuito" ..?
Per provare l'indipendenza stocastica mi basta provare quella logica ... ma il viceversa vale?
Se sto andando bene procedo con previsione e varianza.. ma vorrei avere la certezza.. nel caso fosse giusta o sbagliata la soluzione scritta fino ad ora.
Grazie a chi avrà la pazienza di aiutarmi!
Si considerino gli eventi $A, B, C, D, E$ tali che $C ∧ B = ∅, D = (A ∧ B^C) ∨ (A^C ∧ B)$ ed $E$
incompatibile con $A$ e con $B$. Si dica se l’assegnazione $P(A) = P(E) = 0.2, P(B) = 0.5$ e
$P(D) = 0.3$ è coerente. Stabilire quali coppie di eventi sono logicamente indipendenti (e quali
stocasticamente indipendenti). Trovare il codominio e calcolare poi previsione e varianza del
numero aleatorio $X = 3|A| − |C| + |B| − 2|E|$ .
Prima di tutto ho voluto verificare la coerenza, e a me torna che non è coerente.. Solo che non ci sono le soluzioni ed io non ne ho la certezza! ..
Formo il sistema dato da:
$ {X_1+X_3=3/10 ;
X_4=5/10 ;
X_5=2/10 ;
X_1+X_2= P(C)
$
Direi che è coerente perchè arrivo a scrivere $ 10/10 + X_2+X_6=1$ e se assegnassi $0$ a $X_2$ e $X_6$ mi viene vera l'ugualianza e quindi ho trovato una soluzione del sistema.. ma è davvero così o mi invento le cose per "intuito" ..?
Per provare l'indipendenza stocastica mi basta provare quella logica ... ma il viceversa vale?
Se sto andando bene procedo con previsione e varianza.. ma vorrei avere la certezza.. nel caso fosse giusta o sbagliata la soluzione scritta fino ad ora.
Grazie a chi avrà la pazienza di aiutarmi!
Risposte
"gioxx393":
Per provare l'indipendenza stocastica mi basta provare quella logica
non mi pare proprio...non so dove tu abbia letto questa cosa ma ti faccio subito un controesempio:
Le due situazioni sono logicamente equivalenti in quanto nota la veridicità di A nulla si può dire sulla veridicità o meno di B (posso essere in $AnnB$ oppure in $A$ ma non in $B$) ergo siamo nel caso di indipendenza logica ma solo nella seconda fattispecie gli eventi sono anche stocasticamente indipendenti, infatti solo lì vale la relazione
$P(A|B)=(P(AnnB))/(P(B))=(0.3)/(0.5)=0.6=P(A)$
con un ragionamento simile puoi dimostrare anche che la Dipendenza Logica implica Dipendenza Stocastica.
Per quanto riguarda la coerenza di assegnazione di probabilità [nota]premesso che dal tuo post non ho capito se secondo te l'assegnazione è coerente o meno
"gioxx393":[/nota] è presto detto: l'assegnazione proposta è coerente e lo si vede senza fare molti conti: basta osservare che $A subB$; infatti con i dati del testo ottieni subito
Prima di tutto ho voluto verificare la coerenza, e a me torna che non è coerente....Direi che è coerente perchè arrivo a scrivere...
$P(AnnB)=(P(A)+P(B)-P(D))/2=(0.2+0.5-0.3)/2=0.2=P(A)$
A questo punto, disegnando un diagramma di Venn, vedi subito che i dati sono coerenti con un'opportuna assegnazione di $P(C)$
Ora dovresti continuare tu.... c'è una configurazione dello spazio degli eventi davvero molto semplice e coerente con i dati della traccia che ti permette di risolvere immediatamente il problema.....
Ci sono diversi esercizi che ho risolto sul forum a proposito della coerente assegnazione di probabilità.....guardali perché ti potrebbero chiarire bene le idee sul problema in questione.
Ho fatto male il disegno... e tutto è andato di conseguenza, per l'indipendenza logica e stocastica riflettendo sul tuo esempio ho anche capito di aver mal interpretato un concetto sul libro di testo.. Solo che non capisco come A sia contenuto in B e quindi a cosa equivalga D ... Disegnerei 2 insiemi uniti senza essere intersecati. Così ho fatto.. E quell'unione sarebbe D. ma a quanto pare è sbagliato..Ma come è fatto allora D ? e perchè?
RIvedrò cmq altri esercizi svolti qui.. magari faccio più chiarezza.
RIvedrò cmq altri esercizi svolti qui.. magari faccio più chiarezza.
"gioxx393":
Solo che non capisco come A sia contenuto in B e quindi a cosa equivalga D
il testo dice che $D=(A nn bar(B) )uu (bar(A)nnB)$, ovvero l'insieme colorato
Ora è evidente che[nota]sommando $P(A)+P(B)$ sommo due volte l'intersezione...[/nota] $P(A nn B)=(P(A)+P(B)-P(D))/2=0.2$
Quindi essendo $P(AnnB)=P(A)$ hai esattamente la definizione di $A subB$ e tutto torna: $P(D)=P(B)-P(A)=0.5-0.2=0.3$
"gioxx393":
Disegnerei 2 insiemi uniti senza essere intersecati. Così ho fatto.. E quell'unione sarebbe D. ma a quanto pare è sbagliato.
E' sbagliato sì perchè avresti che $P(D)=0.7$ mentre il testo ti dice che $P(D)=0.3$
Perfetto! Sei stato chiarissimo! GRAZIE! ...Ora continuo nella risoluzione della traccia, sperando di non incontrare problemi
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