Coefficiente di correlazione
Ciao a tutti. Mi trovo alle prese con un esercizio che inzialmente sembrava essere banale ma non lo è (per me).
Il coefficiente di correlazione lineare tra due caratteri X e Y è: $\rho (X,Y) = 0,7 $.
Determinare il valore assunto da $\rho (X,Z)$ essendo $ Z=2-3Y$
A livello analitico ho pensato che:
Allora sostanzialmente conosco: $\rho (X,Y)= [Cov(X,Y)]/[sqrt(V(X)*V(Y))] = 0,7$
MA come trovo $\rho(X,Z)$ ? Con la relazione che lega Z e Y al massimo posso trovarmi la varianza di Y cioè V(Y), ma non cambierebbe nulla.
A livello "concettuale": $\rho= +-1$ a seconda del segno della covarianza di (X,Z) essendovi una relazione lineare ( dato che Z è una retta). Tuttavia mi pare una sciocchezza.
Il coefficiente di correlazione lineare tra due caratteri X e Y è: $\rho (X,Y) = 0,7 $.
Determinare il valore assunto da $\rho (X,Z)$ essendo $ Z=2-3Y$
A livello analitico ho pensato che:
Allora sostanzialmente conosco: $\rho (X,Y)= [Cov(X,Y)]/[sqrt(V(X)*V(Y))] = 0,7$
MA come trovo $\rho(X,Z)$ ? Con la relazione che lega Z e Y al massimo posso trovarmi la varianza di Y cioè V(Y), ma non cambierebbe nulla.
A livello "concettuale": $\rho= +-1$ a seconda del segno della covarianza di (X,Z) essendovi una relazione lineare ( dato che Z è una retta). Tuttavia mi pare una sciocchezza.
Risposte
Penso che il trucco sia quello di ricondursi al coefficiente di $X$ e $Y$, sfruttando le proprietà della varianza e della covarianza: in particolare la bilinearità di quest'ultima...
In effetti rileggendomi quella proprietà vedo che potrebbe essere utile, ma non riesco a risolvere questo esercizio. 
Utilizzi le semplici proprietà della covarianza come ti ha suggerito il retrò.
$Cov(aX,bY) = a*b*Cov(X,Y) $
$Cov(X+a,Y+b) = Cov(X,Y) $
$Cov(X,2-3Y) = -3Cov(X,Y)$
poi c'è la varianza da cambiare, utilizzando le sue proprietà, ma lascio te concludere, baste che sostituisci.
$Cov(aX,bY) = a*b*Cov(X,Y) $
$Cov(X+a,Y+b) = Cov(X,Y) $
$Cov(X,2-3Y) = -3Cov(X,Y)$
poi c'è la varianza da cambiare, utilizzando le sue proprietà, ma lascio te concludere, baste che sostituisci.
Per quanto riguarda le varianze ho fatto così:
Sapendo che: $ Z = 2-3Y$ ho che: $ Y= 2/3-1/3*Z $
Quindi: $V(Y)= 1/9*V(Z)$
Solo che mi sembra impossibile arrivare a calcolare Cov(X,Y) e le altre cose se non conosco V(X).
Helpppppp!!!!!!!!
Sapendo che: $ Z = 2-3Y$ ho che: $ Y= 2/3-1/3*Z $
Quindi: $V(Y)= 1/9*V(Z)$
Solo che mi sembra impossibile arrivare a calcolare Cov(X,Y) e le altre cose se non conosco V(X).
Helpppppp!!!!!!!!
Così ti complichi la vita: devi solo calcolare $\rho (X,Z)$ mettendo $2-3Y$ al posto di $Z$ e sfruttando due proprietà della varianza e quelle della covarianza che ti ha scritto hamming_burst. Vedrai che ti salta fuori una frazione moltiplicata per $\rho(X,Y)$ (che è noto).
due passi:
1. $Cov(X,2-3Y) = -3Cov(X,Y)$ come già scritto
2. $Var(aX + b) = a^2Var(X)$ perciò $Var(2-3Y) = 9Var(Y)$
$\rho_(XZ) = (Cov(X,Z))/(\sqrt(Var(X)*Var(Z)))= (-3Cov(X,Y))/(\sqrt(Var(X)*9*Var(Y))) = -3/3 * (Cov(X,Y))/(\sqrt(Var(X)*9*Var(Y))) = -0.7$
1. $Cov(X,2-3Y) = -3Cov(X,Y)$ come già scritto
2. $Var(aX + b) = a^2Var(X)$ perciò $Var(2-3Y) = 9Var(Y)$
$\rho_(XZ) = (Cov(X,Z))/(\sqrt(Var(X)*Var(Z)))= (-3Cov(X,Y))/(\sqrt(Var(X)*9*Var(Y))) = -3/3 * (Cov(X,Y))/(\sqrt(Var(X)*9*Var(Y))) = -0.7$
Grazie mille.
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